「学习笔记」斯特林数

第一类斯特林数

定义是 (n) 个数，(m) 个圆排列

(Theta(n^2)) 的 (dp) 是：(S_{i,j}=S_{i-1,i-1}+S_{i-1,j} imes (i-1))

如果预处理一行的话需要这个式子：

[x^{overline{n}}=sum_{i=0}^{n-1} egin{bmatrix} n\iend{bmatrix} x^i ]

分治乘法做到 (Theta(nlog^2n))，更快的部分需要倍增

也就是 (x^{overline{2n}}=x^{overline{n}}(x+n)^{overline{n}})

考虑 (f(x)) 来推 (f(x+c)) 是可以做的，那么直接两个卷积即可

注意减法卷积贡献到的位置，是 (len+i+1)

对于求一列的情况，考虑 (EGF)：(S_1) 的 (EGF) 是 (sum_{i} frac{x^{i}}i)

对于多个圆排列就快速幂一下，最后要除掉圆排列个数因为其本质相同

写一个 (ln+exp) 即可

第二类斯特林数

定义第二类斯特林数 (S(n,m)) 为将 (n) 个球放到 (m) 个盒子里的方案数，球不同，盒子相同

然后容易由 (dp) 得到一个递推式

[S(n,m)=S(n-1,m-1)+m imes S(n-1,m) ]

按照组合意义：容斥有多少个盒子是空的

[S(n,m)=frac 1 {m!}sum _ {k=0}^m (-1)^k imes inom m k imes (m-k)^n ]

把式子推一下

[S(n,m)=sum_{k=0}^m frac {(-1)^k}{k!} imes frac{(m-k)^n} {(m-k)!} ]

这里是个卷积，预处理阶乘，逆元就做完了

第二类斯特林数的一个性质：

[n^k=sum_{i=0}^k S(k,i) imes i! imes inom n i ]

直接上组合意义，左边是在 (n) 个互不相同盒子里面放 (k) 个小球的方案

右边是枚举盒子的数量，放在哪几个盒子里面，然后因为盒子不一样，然后就在来个阶乘就没了

如果是求一列，考虑设第 (i) 列的普通生成函数为 (S_i(x))

不难观察到其只和自己和上一列有关，递推式就是 (S_i(x)=mx imes S_i(x)+S_{i-1}(x) imes x)

不断迭代下去得到

[S_i(x)=frac{x^m}{prod_{i=1}^m 1-ix} ]

分治乘法加求逆即可，也可以按照 (EGF) 来做

例题

HEOI2016 求和

首先把三角转成矩形，然后套上 第二类斯特林数的组合公式，每一步都找无关量，最后推等差出来卷积即可

(Theta(n)) 的做法当然不是现在学的

「Luogu4827」 Crash的文明世界

记住这个关键的式子：

[n^k=sum_{j=0}^k egin{Bmatrix} k\ jend{Bmatrix}j! inom n j ]

使用人类智慧，把最后的组合数用杨辉三角展开（其实用“如何转移”的思路也可以得到）

那么设 (f_{x,i}) 表示 (x) 为根的时候子树里面 (inom {dis} i) 的和

换根统计即可