【考试总结2021-02-23】停鸽

Inverse

这个 (dp) 分为四个部分

• 区间和 ([i,j]) 的端点没有交集，这时候答案是 (inom {i-1}2+inom {j-i-1}2+inom {n-j} 2)

• 区间包含左端点，也就是 (lle ile r< j)，此时吧 (l+r-i) 翻到了 (i)

也就是

[sum_{l=1}^{i} sum_{r=i}^{j-1} f_{l+r-i,j}=sum_{l=1}^{i} sum_{r=0}^{j-i-1} f_{l+r,j} ]

设 (Sum(n,j)=sum_{i=1}^n f_{i,j},Tum=sum_{i=1}^n S_1(i,j))，前缀和优化得到

[sum _ {l=1} ^i Sum_{l+j-i-1,j}-Sum_{l-1,j,k}=Tum_{j-1,j}-Tum_{j-i-1,j}-Tum_{i-1,j} ]

• 如果区间只包含右端点，从 (f_{i,l+r-j}) 转移到

[sum_{l=i+1}^{j-1}sum_{r=j}^n f_{i,l+r-j}=sum_{l=i+1}^{j-1}sum_{r=0}^{n-j} f_{i,l+r} ]

这样设 (Sum_{i,n}=sum_{j=1}^n f_{i,j},Tum_{i,n}=sum_{j=1}^n Sum_{i,j})

得到式子甚至和上面的是对称的

[ans=Tum_{i,n}+Tum_{i,i-1}-Tum_{i,n+i-j}-Tum_{i,j-1} ]

• 区间整个包含

整个对对角线做一个类似的前缀和就行

所以就可以 (O(n^2k)) 计算这些贡献

Subsequence

(O(n^2) dp:) 设 (f_{i,j}) 表示前 (i) 个选 (j) 个，(f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+a_i imes j))

这部分是 (trivial) 的，考虑优化，其实这东西是有决策分界的

证明：设 (p(i, j) = frac{f(i,j)-f(i,j-1)}j)，所以当 (p(i-1, j) ≥ a_i) 时，(f(i, j) =f(i-1, j))，即选择前 (1) 种决策。

事实上当 (i) 定时，(p(i,j)) 随 (j) 增加而递减。这只要考虑转移时 (p(i,j)) 的变化：

[p(i + 1, j) =egin{cases} frac{(j-1)p(i,j-1)+a_i} j p(i, j) < a_i exttt{ and } p(i, j-1) < a_i \ a_i p(i, j) > a_i exttt{ and } p(i, j-1) le a_i \ p(i, j) p(i, j) ≥ a_iend{cases}]

那么如果 (p(i,j)) 是关于 (j) 递减的，那么 (p(i,j+1)) 也是单调的

所以用平衡树维护差分数组 (val[i]=f_{i,j}-f_{i,j-1})，每次二分到端点之后对右边区间加

Convex

• 凸包相关的点：

  面积：任意选一个平面上的点 (x)，对于相邻的顶点 (a,b)，求 ((a-x) imes (b-x))

  这题中选的点是 ((0,0))，方便维护前缀和

  极角序：从原点开始的射线从 (x) 轴正半轴开始顺时针扫，扫到一个算一个，这样得到的点的序列

暴力是枚举每个对角线，对着 ((0,0)) 按照算面积，貌似要 (Theta(n^3))

剩下的还不会，先鸽着