线性代数 【高斯消元 模板】

kuangbin的高斯消元解法模板：http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/09/01/2667044.html

需要注意的是：有的题目可能会有某些特殊不同，比如：如果存在唯一解的话，数据会一定保证是非负整数解，这样的话判断是不是浮点解就是没有意义的。

code：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=50;



int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元



/*
void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
*/


inline int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.
    int col;//当前处理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //转换为阶梯阵.
    col=0; // 当前处理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 与第k行交换.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚举要删去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }

  //  Debug();

    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    int i, j;
    int equ,var;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
//        Debug();
        int free_num = Gauss(equ,var);
        if (free_num == -1) printf("无解!
");
   else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!
");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d
", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的
", i + 1);
                else printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

 高斯消元模板整理  http://blog.csdn.net/u012936765/article/details/46966517

    //高斯消元法解异或方程组，返回方程解得个数。  
    const int N = 30;  
    int A[N][N];//关系矩阵  
    int Gauss(int equ,int var){//返回解得个数。  
        int row,col;  
        for(row=0,col=0;row<equ&&col<var;col++,row++){  
            int max_r=row;//默认最大为本行  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){//从上到下找出最大的，此处01矩阵为1  
                if(A[row][col]==1)  
                    break;  
                if(A[max_r][col]<A[i][col]){  
                    max_r=i;break;  
                }  
            }  
            if(max_r!=row){  
                for(int j=0;j<=var;j++)swap(A[max_r][j],A[row][j]);  
            }  
            if(A[row][col]==0){  
                row--;//重新查找本行下一列  
            }  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){  
                if(A[i][col]==0)continue;//如果某行已为0，则跳过本行  
                for(int j=col;j<=var;j++){  
                    A[i][j]^=A[row][j];  
                }  
            }  
        }  
        for(int i=row;i<equ;i++){  
            if(A[i][col]!=0)return -1;  
        }  
        return 1<<(n-row);//可能会用long long  1LL<<(n-row)  
    }  

    //高斯消元法解异或方程组（枚举所有解）  
    const int N = 30;  
    int n;  
    int A[N][N];  
    int Major[N];//记录主元所在位置  
    int x[N];//临时解 x[]={0,1};  
      
    void DFS_freevar(int n,int r,int var){//递归枚举自由元  
        if(var==-1){  
              
            //...对于每一个解进行处理。  
        }  
        if(var==Major[r]){//当前为主元  
            int y=A[r][n];  
            for(int i=var+1;i<n;i++){  
                y^=(A[r][i]*x[i]);  
            }  
            x[var]=y;  
            DFS_freevar(n,r-1, var-1) ;  
        }  
        else{//不是主元枚举  
            for(int i=0;i<2;i++){  
                x[var]=i;  
                 DFS_freevar(n,r, var-1) ;  
            }  
        }  
        
    }  
    int Gauss(int equ,int var){//返回是否有解  
        int row,col;  
        for(row=0,col=0;col<var&&row<equ;col++,row++){  
            int max_r=row;  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){  
                if(A[row][col]==1)break;  
                if(A[max_r][col]<A[i][col]){  
                    max_r=i;break;  
                }  
            }  
            if(A[max_r][col]==0){  
                row--;  
                continue;  
            }  
            if(max_r!=row)  
                for(int j=0;j<=var;j++)  
                    swap(A[row][j],A[max_r][j]);  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){  
                if(A[i][col]==0)continue;  
                for(int j=col;j<=var;j++){  
                    A[i][j]^=A[row][j];  
                }  
            }  
            Major[row]=col;  
        }  
        for(int i=row;i<equ;i++){//无解的情况  
            if(A[i][col]!=0)return -1;  
        }  
        DFS_freevar(n,row-1,col-1);  
        return 1;  
    }  

    //浮点型只有唯一解时可计算  
    const int N = 300;  
    const int INF=0x7fffffff;  
    #define eps 1e-9  
    double A[N][N];  
    double x[N];  
    void Gauss(int equ,int var){  
        int row,col;  
        for(row=0,col=0;col<var&&row<equ;col++,row++){  
            int max_r=row;  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){  
                if(eps<fabs(A[i][col])-fabs(A[max_r][col])){  
                    max_r=i;  
                }  
            }  
            if(max_r!=row)  
                for(int j=0;j<var+1;j++)  
                    swap(A[row][j],A[max_r][j]);  
            for(int i=row+1;i<equ;i++){  
                if(fabs(A[i][col])<eps)continue;  
                double tmp=-A[i][col]/A[row][col];  
                for(int j=col;j<var+1;j++){  
                    A[i][j]+=tmp*A[row][j];  
                }  
            }  
             
        }  
          
           for(int i=var-1;i>=0;i--){//计算唯一解。  
            double tmp=0;  
            for(int j=i+1;j<var;j++){  
                tmp+=A[i][j]*x[j];  
            }  
            x[i]=(A[i][var]-tmp)/A[i][i];  
        }  
    }