[SHOI2017]组合数问题

题目大意

给定(n,r,k,p)

(1 leq n leq 10^9)

(0 leq r,k leq 50)

(2 leq p leq 2^{30}+1)

求

[left(sum_{i=0}^infty {C_{nk}^{ik+r}} ight) mod p ]

即

[(C_{nk}^{r}+C_{nk}^{k+r}+C_{nk}^{2k+r}+...+C_{nk}^{(n-1)k+r}+C_{nk}^{nk+r}+...) mod p ]

解题思路

根据(C)的另一个递推式：

[C_{i}^{j}=C_{i-1}^{j}+C_{i-1}^{j-1} ]

我们做一些改变

令(dp_{i,j})表示取(i)个，取的个数模(k)余(j)的方案总数

递推式很类似：

[dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,(j-1+k)\%k} ]

这个式子就可以矩阵乘法加速

[ left[ egin{matrix} 1&0&0&0&cdots&0&1 \ 1&1&0&0&cdots&0&0 \ 0&1&1&0&cdots&0&0 \ 0&0&1&1&cdots&0&0 \ vdots&vdots&vdots&vdots&ddots&vdots&vdots \ 0&0&0&0&cdots&1&1 \ 1&0&0&0&cdots&0&1 end{matrix} ight] left[ egin{matrix} dp_{i-1,0} \ dp_{i-1,1} \ dp_{i-1,2} \ dp_{i-1,3} \ vdots \ dp_{i-1,k-2} \ dp_{i-1,k-1} end{matrix} ight] = left[ egin{matrix} dp_{i,0} \ dp_{i,1} \ dp_{i,2} \ dp_{i,3} \ vdots \ dp_{i,k-2} \ dp_{i,k-1} end{matrix} ight] ]

答案即为(dp_{nk,r})（在(nk)个元素中取的个数模(k)余(r)的方案总和）

复杂度(O(k^3lognk))

要注意一下，(k=1)的时候矩阵长这样：

[ left[ egin{matrix} 2 end{matrix} ight] ]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

long long n,p,K,r;

struct Matrix{
	long long M[100][100];
	Matrix(){memset(M,0,sizeof(M));}
};
Matrix operator * (Matrix &A,Matrix &B){
	Matrix ret;
	for (int i=0;i<K;i++)
		for (int j=0;j<K;j++)
			for (int k=0;k<K;k++){
				ret.M[i][j]+=A.M[i][k]*B.M[k][j];
				ret.M[i][j]%=p;
			}
	return ret;
}

Matrix E,S;

Matrix Fast_pow(Matrix &P,long long u){
	if (!u) return E;
	Matrix now=Fast_pow(P,u>>1);
	now=now*now;
	if (u&1) now=now*P;
	return now;
}

int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&K,&r);
	for (int i=0;i<K;i++){
		S.M[i][i]++;
		S.M[i][(i-1+K)%K]++;
		E.M[i][i]++;
	}
	S=Fast_pow(S,n*K);
	printf("%d",S.M[r][0]);
}