洛谷P1436 棋盘分割

二维区间DP/记忆化搜索

原题是求均方差 需要用数学知识化简 转化为求最小平方和

状态：f[k][x1][y1][x2][y2] 表示把左上端点为(x1,y1)、右下端点为(x2,y2)的棋盘分割成k个部分所得的最小平方和

边界：当k=1时 为(x1,y1)到(x2,y2)的和的平方

目标：f[n][1][1][8][8]

状态转移方程复杂，DP需要四五层循环，这里采用记忆化搜索

转移过程：

for(int i=x1;i<=x2;++i){//枚举行 把该矩形横向切开
		ans=min(ans,solve(k-1,x1,y1,i,y2)+solve(1,i+1,y1,x2,y2));//上半部分切成k-1块 下半部分不动
		ans=min(ans,solve(1,x1,y1,i,y2)+solve(k-1,i+1,y1,x2,y2));//上半部分不动 下半部分切成k-1块
	}
	for(int i=y1;i<=y2;++i){//枚举列 把该矩形纵向切开
		ans=min(ans,solve(k-1,x1,y1,x2,i)+solve(1,x1,i+1,x2,y2));//左半部分切成k-1块 右半部分不动
		ans=min(ans,solve(1,x1,y1,x2,i)+solve(k-1,x1,i+1,x2,y2));//左半部分不动 右半部分切成k-1块
	}

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define square(x) (x*x)
#define s(x1,y1,x2,y2) (sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1])
const int inf=0x3f3f3f3f;
int ans,n,g[20][10][10][10][10],sum[20][20],a[20][20];
int solve(int k,int x1,int y1,int x2,int y2){
	if(k==1) return g[k][x1][y1][x2][y2]=square(s(x1,y1,x2,y2));
	if(g[k][x1][y1][x2][y2]!=-inf) return g[k][x1][y1][x2][y2];
	int ans=inf;
	for(int i=x1;i<=x2;++i){
		ans=min(ans,solve(k-1,x1,y1,i,y2)+solve(1,i+1,y1,x2,y2));
		ans=min(ans,solve(1,x1,y1,i,y2)+solve(k-1,i+1,y1,x2,y2));
	}
	for(int i=y1;i<=y2;++i){
		ans=min(ans,solve(k-1,x1,y1,x2,i)+solve(1,x1,i+1,x2,y2));
		ans=min(ans,solve(1,x1,y1,x2,i)+solve(k-1,x1,i+1,x2,y2));
	}
	return g[k][x1][y1][x2][y2]=ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=8;++i) for(int j=1;j<=8;++j){
		scanf("%d",&a[i][j]);
		sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+a[i][j];
	}
	for(int k=1;k<=15;++k) for(int x1=1;x1<=8;++x1) for(int x2=1;x2<=8;++x2)
	for(int x3=1;x3<=8;++x3) for(int x4=1;x4<=8;++x4) g[k][x1][x2][x3][x4]=-inf;
	ans=solve(n,1,1,8,8);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}