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  • BZOJ3907 网格

    题目:BZOJ3907: 网格

    思路:

    显然,这道题是卡特兰数经典模型的变式。
    假设不考虑越界限制,从(0,0)到(n,m)的总方案数为(C_{n+m}^n),如果能计算出其中有哪些是不合法的,二者相减即可。
    我们可以用一个1和-1的串记录行走的路径,记向右走为+1,向上走为-1,则一条合法路径满足串中任意位置的前缀和均不小于0。串长为n+m,其中有n个1,m个-1,所以串的总数有(C_{n+m}^n)
    对于一条不合法路径,我们找到第一个前缀和小于0的位置pos,把串从1到pos位置翻转(1->-1,-1->1),那么最后串长不变,pos位之后的串不变,1~pos位中1的个数多了1,-1的个数少了1,最后总串长不变。因此每个不合法方案均能唯一映射到这种串,不合法方案总数:(C_{n+m}^{n+1})
    几何意义:在网格图中,对于不合法的方案,一定经过直线y=x+1。把起点到第一个触碰到直线y=x+1的点之间走过的路径沿y=x+1对称,第一次触碰之后的路径不变。所以每条不合法方案都对应一条从(-1,1)到(n,m)的路径。
    最后答案为:(C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1})
    注意到没有模数,所以需要高精度。组合数计算时需要用到除法,直接写高精除高精效率比较低,只能得60pts。可以对分子分母同时分解质因数之后计算,省去除法。


    Code:

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=10000,base=10000,power=4;
    int n,m,cnt[N],mindiv[N],p[N],tot;
    struct bigint{
        int d[N],len;
        inline void clean() {while(len>1&&!d[len]) --len;} 
        inline bigint(){memset(d,0,sizeof(d)),len=1;}
        inline bigint(int num) {len=1;d[1]=num;}
        bigint operator - (const bigint &b)const{
            bigint c=*this;
            for(int i=1;i<=b.len;++i){
                c.d[i]-=b.d[i];
                if(c.d[i]<0) c.d[i]+=base,--c.d[i+1];
            }
            c.clean();
            return c;
        }
        bigint operator * (const bigint &b)const{
            bigint c;
            for(int i=1;i<=len;++i) for(int j=1;j<=b.len;++j)
                c.d[i+j-1]+=d[i]*b.d[j],c.d[i+j]+=c.d[i+j-1]/base,c.d[i+j-1]%=base;
            c.len=len+b.len;
            c.clean();
            return c;	
        }
        void print(){
            clean();
            printf("%d",d[len]);
            for(int i=len-1;i>=1;--i) printf("%0*d",power,d[i]);
        }
    };
    void Prime(){
    	for(int i=2;i<=n+m;++i){
    		if(!mindiv[i]) mindiv[i]=p[++tot]=i;
    		for(int j=1;j<=tot;++j){
    			if(i*p[j]>m+n||p[j]>mindiv[i]) break;
    			mindiv[i*p[j]]=p[j];
    		}
    	}
    }
    void add(int num){
    	while(num^1){
    		++cnt[mindiv[num]];
    		num/=mindiv[num];
    	}
    }
    void del(int num){
    	while(num^1){
    		--cnt[mindiv[num]];
    		num/=mindiv[num];
    	}
    }
    bigint quickpow(int a,int b){
    	bigint res=1,c=a;
    	while(b){
    		if(b&1) res=res*c;
    		c=c*c;
    		b>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    bigint C(int n,int m){
    	bigint ans=1;
    	for(int i=1;i<=tot;++i) cnt[p[i]]=0;
    	for(int i=n-m+1;i<=n;++i) add(i);
    	for(int i=1;i<=m;++i) del(i);
    	for(int i=1;i<=tot;++i) ans=ans*quickpow(p[i],cnt[p[i]]);
    	return ans;
    }
    int main(){
    	scanf("%d%d",&n,&m);
    	Prime();
    	(C(n+m,m)-C(n+m,m-1)).print();
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yu-xing/p/11221901.html
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