ACM-ICPC 2017 Asia Urumqi A. Coins【期望dp】

题目链接：https://www.jisuanke.com/contest/2870?view=challenges

题目大意：给出n个都正面朝下的硬币，操作m次，每次都选取k枚硬币抛到空中，求操作m次后，硬币向上的期望值。

思路：

1.期望跟概率还是有点不同的，期望要枚举出抛的所有的情况，然后求sigma(i * dp[][])

2.dp[i][j]表示进行i次操作后，有j枚硬币向上的概率。这样就可以求最后的硬币向上的期望了。

3.值得注意的是，预处理的组合数要开 double 型。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

double C[110][110];//组合数
double P[110]; //翻i个硬币的概率，因为正反都是 1 / 2，所以用一维数组表示
double dp[110][110]; //表示操作i次，有j枚硬币正面向上的概率 
int n, m, k;

int main()
{
    //预处理组合数
    C[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 100; i ++)
    {
        C[i][0] =  1;
        for(int j = 1; j <= i; j ++)
        {
            C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
        }
    }
    //预处理i个硬币的概率 
    P[0] = 1.0;
    for(int i = 1; i <= 100; i ++)
        P[i] = 0.5 * P[i - 1];
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T --)
    {
        mem(dp, 0);
        dp[0][0] = 1.0;
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
        for(int i = 0; i < m; i ++)//枚举操作次数 
        {
            for(int j = 0; j <= n; j ++)//枚举硬币正面向上的个数 
            {
                if(dp[i][j] == 0)
                    continue;
                for(int q = 0; q <= k; q ++)//枚举抛k枚硬币有多少枚硬币会朝上，枚举所有情况，才是求期望 
                {
                    if((n - j) >= k)
                        dp[i + 1][j + q] += dp[i][j] * C[k][q] * P[k];
                    else
                        dp[i + 1][j + q - (k - (n - j))] += dp[i][j] * C[k][q] * P[k];
                }
            }
        }
        double ans = 0.0;
        for(int i = 0; i <= n; i ++)
        {
            ans += dp[m][i] * i;
        }
        printf("%.3lf
", ans);
    }
    return 0;
}