首先我们来看洛谷的一道题：给出两个字符串s1和s2，其中s2为s1的子串，求出s2在s1中所有出现的位置。字符串匹配的题，最简单暴力的方法就是比较嘛，两层循环，外面一层就for：1—>lens1,里面一层是for:1->lens2,然后逐个比较，看s1[i+j]和s[j]是否相等，如果相等比较下一位，直到比到lens2,如果都相等，那就找到了一个位置，然后i++往后继续这么比较，如果中途出现不一样的，那就直接结束第二层循环，i++，继续比较。这样的复杂度是O(nm)的，n代表lens1,m代表lens2，而我们这道题的n，m<=100W,显然是不可能过的，那么我们可以怎样优化这个算法那？
我们注意到，每次比较的时候，一旦出现不匹配，两个字符串都要从头再开始，辛辛苦苦几十年，一朝回到解放前。
对于两个字符串ababababc（S1）
ababc（s2）
我们一直比较到了c才发现不合适，这个时候其实有一部分已经不需要再比较了，这一部分就是s1的第二个ab和s2的第一个ab，为什么不需要再比了？因为s1的第二个ab和s2的第二个ab匹配，而s2的第二个ab和第一个ab是一样的，所以也肯定能匹配，十分的神奇，看起来很棒，但是应该怎么实现那？从这个例子中我们也能注意到我们需要对s2做一点文章，是他失配（匹配不成功）的时候能够在失配位置原地找到另一半 现在应该从哪一位开始匹配当前的s1串的这失配的一位（也就是前面有若干位已经不需要再比较了）假设我们现在匹配到了s1[i]和s2[j],失配了，那么也就是已经匹配上了j-1位了，这时候j前面有k个字符串和从第一位开始的k个字符串一样，由于j前面这k位已经匹配过了，所以最前面的k位就不需要匹配了，直接挪过来就行，说来有那么一点点的抽象，建议读者自己拿笔划一划（虽然可能没有读者）。以abababb和ababb为例，当i指向S1的第5位，j指向s2的第5位是我们发现失配了，这时候普通的做法是i从第2位开始，j从新从第一位开始逐个比较，但kmp的做法是i不动了，j跳到第三位（S2串的第五位的前两位和开头的前两位一样，不需要再比较了）这样的话，我的S1字符串只需要扫一遍，时间复杂度就降到了O(n+m)。
附一张图帮助理解
那么现在我们就只剩一个问题了，匹配时随时可能失配，我们得怎么去求每一位的字符失配之后要跳到哪一位？我们用数组nex【i】来存储第i位字符失配后要跳到哪一位去，首先如果第一位就失配了，那就跳到第0位去（第0位什么也没有），也就是可以用s1的下一位来和s2的第一位进行匹配了，然后从第二位开始，我首先找到前一位的nex，如果前一位的nex+1就等于这一位，那前一位的nex+1就是这一位的nex，为啥那？因为我前一位的nex是k的话，代表从前一位开始往前数k个（这k个包括前一位）和最开始的k个是一样的，这时当前位和k+1又一样，就代表当前位开始往前数k+1位和最开始的k+1位都是一样的，皆大欢喜，那要是当前位和k+1位不一样怎么办呐？继续往前张k的nex：kk，同样的道理：从前一位开始往前数kk个（这kk个包括前一位）和最开始的kk个是一样的,这时比较kk+1和当前位，直到找到了0也没有匹配上，那很抱歉，当前位的nex就是0了。
模板：
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 using namespace std; 6 char s1[1000005],s2[1000005]; 7 int len1,len2; 8 int nex[1000005]; 9 void getnext()//求nex数组 10 { 11 int j=0; 12 for(int i=2;i<=len2;++i) 13 { 14 j=nex[i-1]; 15 while(j&&s2[i]!=s2[j+1])j=nex[j]; 16 if(s2[i]==s2[j+1])nex[i]=j+1; 17 else nex[i]=0;//这个if-else是针对j=0的情况的，如果j=0，可能当前位刚好等于第一位，那么他的nex就是1，但是也可能并不是，那么他的nex就是0了 18 } 19 } 20 void kmp() 21 { 22 int j=0; 23 for(int i=1;i<=len1;++i) 24 { 25 while(j&&s2[j+1]!=s1[i])j=nex[j];//如果当前位失配，那就往前跳；还有一种情况就是j就是len2，这时已经是下一次循环了，i+1了，就相当于失配了 26 if(s2[j+1]==s1[i])j++;//因为跳到0会结束，所以还是判断一下是不是相等，相等才能相配长度+1 27 if(j==len2)printf("%d ",i-len2+1); 28 } 29 } 30 int main() 31 { 32 scanf("%s",s1+1);scanf("%s",s2+1);//从第一位开始存储 33 len1=strlen(s1+1),len2=strlen(s2+1);//从第一位开始获取长度。忽略第0位 34 getnext(); 35 kmp(); 36 for(int i=1;i<=len2;++i) 37 printf("%d ",nex[i]); 38 return 0; 39 }