最大公约数和最小公倍数问题

题目描述

输入2个正整数x0​,y0​(2≤x0​<100000,2≤y0​<=1000000),求出满足下列条件的P,Q的个数

条件:

1. P,Q是正整数

2. 要求P,Q以x0​为最大公约数,以y0​为最小公倍数.

试求:满足条件的所有可能的2个正整数的个数.

输入输出格式

输入格式：

2个正整数x0​,y0​

输出格式：

1个数，表示求出满足条件的P,Q的个数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3 60

输出样例#1： 复制

4

说明

P,QP,Q有4种

1、3,60
2、15,12
3、12,15
4、60,3

关于这道题，首先要明确一件事：两个正整数的乘积是最大公约数乘以最小公倍数（在这里进行一个并不严谨的证明）：

定义两个正整数PQ，他们的最大公约数是x，最小公倍数是y。y就是x*（P/x）*（Q/X），那么再乘一个x，不久等于P*Q吗？

所以，这道题的求解范围就大大地缩小了，我们只需要枚举x的倍数即可，并令相乘等于x*y即可。

但是还是有一个问题：比如样例3 60 按照上述的方法求得10 6是满足条件的解，但是实际上他们的最大公约数是2，所以我们还需要判断最大公约数是否与给出的相等（利用辗转相除法），由于两个数乘积一定，如果最大公约数一定，那么显然最小公倍数一定，所以这是显然成立的。

最后，附上本题代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int ans;
int gcd(int x,int y)
{
    if(x%y==0)
    {
        return y;
    }
    else
    {
        return gcd(y,x%y);
    }
}
int main()
{
    int x,y;
    scanf("%d%d",&x,&y);
    for(int i=x;i<=x*y;i+=x)
    {
        if((x*y)%i==0&&gcd(i,(x*y)/i)==x)
        {
            ans++;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}