HDU 2588 GCD（欧拉函数）

思路：

1.题意是给出$n$和$m$，让我们找出有多少个$x(1<=x<=n)$满足$gcd(n,x)>=m$；
2.设$n$和$x$的最大公约数是$d$，则我们可以将$n$和$x$表示成
$egin{cases} n=p*d\ x=q*d end{cases}$
且我们可以得知$p$和$q$互质且$q<=p$，因此我们需要求出在此时$d$确定的情况下有多少个$q$存在即可，即求$p$的欧拉函数；
3.接着我们的目标就是求出对于每一个$d(d>=m)$，与之对应的$p$的欧拉函数，最后将它们相加即可；
4.可能有些人会有疑问（比如说我），题目问$x$有多少种取值，我们就简单的遍历所有$p$，将这些$p$的欧拉函数相加就好了吗？不同的$d$对应不同的$p$，而同一个$p$也对应许多不同的$q$，有没有可能这些情况中，计算出来的$x$值有重复？
答案是不会的。我们来证明一下，假设
$egin{cases} n=p1*d1\ x1=q1*d1\ n=p2*d2\ x2=q2*d2\ x1=x2 end{cases}$
则会有
$egin{cases} p1*d1=p2*d2\ q1*d1=q2*d2 end{cases}$
则有$p1=frac{p2*q1}{q2}$，此时$q1 eq q2$，因此必有$q1$的一个或多个质因子包含在$p1$中，这与$q1p1$互质相矛盾，因此$x$的值不会重复；

代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m;
vector<int> v;
void cal_divisor(int n){  //which is greater than m or equals to m
	for(int i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0){
			if(i>=m) v.push_back(i);
			if(i!=n/i&&n/i>=m) v.push_back(n/i); 
	}
}
int eular(int n){
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0){
		ans-=ans/i;
		while(n%i==0) n/=i;
	}
	if(n>1) ans-=ans/n;
	return ans;
}
int solve(){
	if(m==1) return n;
	v.clear();
	cal_divisor(n);
	int ans=0;
	for(auto x:v) ans+=eular(n/x);
	return ans;
}
int main(){
	int t; cin>>t;
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		cout<<solve()<<'
';
	}
	return 0;
}