洛谷2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

　　例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2×3的子矩阵如右图所示。

　　　　9 3 3 3 9

　　　　9 4 8 7 4

　　　　1 7 4 6 6

　　　　6 8 5 6 9

　　　　7 4 5 6 1

　　其中一个2×3的子矩阵是

　　　　4 7 4

　　　　8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

　　本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：

6

输入样例#2：

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，

为　6 5 6

　　7 5 6

其分值为:

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

　　9 7 8
　　9 8 8
　　5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a_ij ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a_ij ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m。

题解

解析

本题目为2014NOIP普及T4，应该是一道很有名的题目，洛谷上的难度是提高+/省选-。其实，如果想通了，这题真的不是很难。

本题的题意就是在一个n行m列的正整数矩阵中，选出一个r行c列的矩阵，使得该矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和最小。

首先，选行的话可以用DFS排列出所有r行的情况（可以用回溯）

接着，可以进行预处理，对所选的r行而言，处理出它所有元素的“分值”；

　　   对于上下两行元素之间的差，要一维数组（因为DFS选行时，就相当于有一个数组了）；

　　   对于相邻两列的处理，必选选用二维数组（需要存储行的个数和列的个数）；

　　   或许这样讲不太清楚，那么可以这么理解：

　　   1.设v[i]表示所选出的相邻两行第i个元素的差的绝对值

　　　2.设w[i][j]表示所选出的第i-1行和第i行的第j列上所有元素的差的绝对之和

然后，就可以动规了，本题就转化为在m列中选出c列，满足最小即可（有点像背包），但是要注意边界问题：

　　　1.第一层循环毫无疑义是i从1~m枚举，注意第二层循环就是j从1~min(i,c),因为只要选c列

　　　2.当j等于1时，f[i][j]=v[i]，这应该不需要解释

　　　3.当j等于i时，即前i列都取，那么f[i-1][j-1]+v[i]+w[i][j-1]；

把算法再整理一遍

1.通过DFS求出在n行中取出r行的所有情况

2.预处理出行差和列差

3.通过动规（类似背包问题）计算出最优值

代码

#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=20;
const int INF=2147483647;

int ans=INF;

int n,m,r,c;
int a[N][N];

int tmp=1;
int h[N]={0};//hang
int w[N][N]={0},v[N]={0};
int f[N][N];

void before_work()
{
    memset (w,0,sizeof (w));
    memset (v,0,sizeof (v));
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<r;j++)
            v[i]=abs(a[h[j]][i]-a[h[j+1]][i]);
    for (int i=2;i<=m;i++)
        for (int j=1;j<i;j++)
            for (int k=1;k<=r;k++)
                w[i][j]+=abs(a[h[k]][i]-a[h[k]][j]);
    return;
}

void DP()
{
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        for (int j=1;j<=min(i,c);j++)
        {
            if (j==1)//边界1
                f[i][j]=v[i];
            else if (i==j)//边界2
                f[i][j]=f[i-1][j-1]+v[i]+w[i][j-1];
            else
            {
                f[i][j]=INF;
                for (int k=j-1;k<i;k++)
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+v[i]+w[i][k]);
            }
            if (j==c)ans=min(ans,f[i][c]);//求答案
        }
    }
}

void DFS(int cnt)
{
    if (cnt>n)
    {
        before_work();//预处理
        DP();//动规
        return;
    }
    if (r-tmp+1==n-cnt+1)
    {//一个小优化。如果cnt和cnt以后的元素必须全部取完，才能选出r个，那么cnt必须取，否则就取不到r个元素。
        h[tmp++]=cnt;
        DFS(cnt+1);
        h[tmp--]=0;
        return;
    }
    DFS(cnt+1);//这一行不取
    if (tmp<=r)
    {//这一行取
        h[tmp++]=cnt;
        DFS(cnt+1);
        h[tmp--]=0;
    }
}

void work()
{
    scanf ("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            scanf ("%d",&a[i][j]);
    DFS(1);
    printf ("%d
",ans);
    return;
        
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}

出处：https://www.cnblogs.com/yujustin/

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