动态规划

算法思想

将待求解的问题分解为若干个子问题，按顺序求解子问题，同时前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。

算法优点

针对每一个状态只需要进行一次运算，之后就可以重复利用这个状态的值，从而减少了大量不必要的重复计算。也就是，一旦出现重复的子问题求解，优先考虑动态规划方式求解，一般都会获得很多优化

算法特点

• 求解子问题时只保存针对当前子问题的最优解
• 重叠子问题，减少重复计算，对每一个子问题只解一次，将其不同阶段的不同状态保存在一个数组中。
• 子问题往往不是互相独立的

动态规划条件

• 总问题可划分为多个子问题
• 最优化原理，通过子问题的最优解可以获得整个问题的最终最优解
• 无后效性。当前状态的子问题的解不会被之后状态的子问题影响
• 子问题的重叠性。动态规划的子问题不独立，单个子问题的最优解可以使用之前已解决的子问题的解，解决冗余，以空间换时间的技术，这也是动态规划的优点

求解步骤

• 子问题的划分。 按照一定的顺序把整个问题划分为若干个规模相等的子问题
• 子问题状态的确定。根据问题需求和子问题的各个属性确定子问题的”状态“，同时需要满足无后效性。
• 推导状态转移方程。 状态转移指的就是根据上一个状态（或者叫上一个子问题的解）来获取当前子问题解的过程
• 边界条件和初始值的确定。由于动态规划是根据之前子问题的解来推导当前子问题的解，所以最初状态的值必须确定。边界条件是用来描述结束状态的，如果当前状态完全到达边界，便视为已经到达了最终状态。

算法实例

问题1：斐波那契数列

数列由1，1开始，之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。

Sequence： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，……

状态转移方程：

详细代码

#!/usr/bin/python
#-*-coding:utf-8 -*-

import numpy as np

#递归方式
def rec_fib(n):
    if(n == 0):
        return 0
    elif(n == 1):
        return 1
    else:
        fib = rec_fib(n-1) + rec_fib(n-2)
    return fib

#使用变量存储中间结果
def dp_fib(n):
    a, b = 0, 1
    while(n):
        a, b = b, a+b
        n -= 1
    return a

if __name__ == '__main__':
    print(rec_fib(6))
    print(dp_fib(6))   

问题2：收益最大

纵轴是所作的任务编号，以及收益；横轴是任务所对应的时间。选取规则为任务时间不能重叠，使得收益最大。

任务编号：       1，2，3，4，5，6，7，8

任务对应收益v(i)：5，1，8，4，6，3，2，4

第i个任务选状态（选和不选）最优解opt(i)：

pre(i)为之前的状态，对应任务编号的先前状态表：

i:       1  2  3  4  5  6  7   8             
pre(i):  0  0  0  1  0  2  3   5    # 任务编号的先前状态表           
opt(i):  5  5  8  9  9  9  10  13   # 期望结果

详细代码

#!/usr/bin/python
#-*-coding:utf-8 -*-

import numpy as np

pre = [0, 0, 0, 1, 0, 2, 3, 5]
arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
V  =  [5, 1, 8, 4, 6, 3, 2, 4]

# 递归方式
def rec_values(arr, n):
    if(n == 0):
        return 0
    else:
        A = V[n - 1] + rec_values(arr, pre[n - 1])
        B = rec_values(arr, n - 1)
    return max(A, B)

# 数组存放中间值
def dp_values(arr):
    opt = np.zeros(len(arr) + 1)
    opt[0] = 0
    for i in range(1, len(arr) + 1):
        A = V[i - 1] + opt[pre[i - 1]]
        B = opt[i - 1]
        opt[i] = max(A, B)
    return opt[len(opt) - 1]

if __name__ == '__main__':
    print(rec_values(arr, 8)) # 13
    print(dp_values(arr)) # 13

问题3：不相邻元素总和最大

给定一个数组，选取一些元素使得总和最大，选取规则为不能连续取两个元素，即选取的元素之间至少要间隔一个其它元素，每个元素都有选与不选两种可能，使得用动态规划求解。

arr： 1，2，4，1，7，8，3

状态转移方程

出口条件

opt[0] = arr[0]             
opt[1] = max(arr[0], arr[1])

详细代码

#!/usr/bin/python
#-*-coding:utf-8 -*-

import numpy as np

arr = [1, 2, 4, 1, 7, 8, 3]

#递归方式
def rec_opt(arr, i):
    if(i == 0):
        return arr[0]
    elif(i == 1):
        return max(arr[0], arr[1])
    else:
        A = rec_opt(arr, i-2) + arr[i]
        B = rec_opt(arr, i-1)
        return max(A, B)

#使用数组存储中间结果
def dp_opt(arr):
   opt = np.zeros(len(arr))
   opt[0] = arr[0]
   opt[1] = max(arr[0], arr[1])
   for i in range(2, len(arr)):
       A = opt[i-2] + arr[i]
       B = opt[i-1]
       opt[i] = max(A, B)
   return opt[len(arr) - 1]

if __name__ == '__main__':
    print(rec_opt(arr, 6))
    print ( dp_opt(arr))

问题4：寻找和为定值的数

给定一个数组，选取一些元素使得总和为给定的值。

arr：  3，34，4，12，5，2
s：    9

状态转移方程

其中，subset(arr, i, s)表示为数组arr当前第i个数字需要计算的和为s

出口条件

if s ==0:                              
    return true                             
elif i == 0:                                    
    return arr[0] == s                         
elif arr[i] > s:                           
    return subset(arr, i-1, s)   

使用二维数组进行存储结果

arr   i    0  1  2  3  4  5  6  7  8  9        s          
3     0    F  F  F  F  T  F  F  F  F  F                               
34    1    T                                               
4     2    T                                                    
12    3    T                                                       
5     4    T                                                      
2     5    T                                                  

详细代码

#!/usr/bin/python
#-*-coding:utf-8 -*- 

import numpy as np

arr = [3,34,4,12,5,2]

# 递归方式
def rec_subset(arr,i,s):
    if s == 0:
        return True
    elif i == 0:
        return arr[0]==s
    elif arr[i] > s:
        return rec_subset(arr,i-1,s)
    else:
        A=rec_subset(arr,i-1,s-arr[i])
        B=rec_subset(arr,i-1,s)
        return A or B
def rec_subset_test():
    print(rec_subset(arr, len (arr)-1, 9))      #True
    print(rec_subset(arr, len (arr)-1, 10))     #True
    print(rec_subset(arr, len (arr)-1, 11))     #True
    print(rec_subset(arr, len (arr )-1, 12))    #True
    print(rec_subset(arr, len (arr)-1, 13 ))    #False

# 二维数组存储结果
def dp_subset(arr, S):
    subset = np.zeros((len(arr), S+1), dtype = bool)

    # 表示对一个二维数组，取该二维数组第一维中的所有数据，第二维中取第0个数据，即取所有行的第1个数据
    subset[:, 0] = True
    # 所有列的第1个数据
    subset[0, :] = False
    subset[0, arr[0]] = True #i=0时，arr[0] = s = 3

    for i in range(1, len(arr)):
        for s in range(1, S+1):
            if(arr[i] > s):
                subset[i, s] = subset[i-1, s]
            else:
                A = subset[i-1, s-arr[i]]
                B = subset[i-1, s]
                subset[i, s] = A or B
    # r,c分别为二维数组的行数和列数   
    r,c = subset.shape
    return subset[r-1, c-1]

def dp_subset_test():
    print(dp_subset(arr, 9))      #True
    print(dp_subset(arr, 10))     #True
    print(dp_subset(arr, 11))     #True
    print(dp_subset(arr, 12))     #True
    print(dp_subset(arr, 13))     #False

# 当.py文件被直接运行时，if下的代码块将被运行；
# 当.py文件以模块形式被导入时，if下的代码块不被运行。
if __name__ == '__main__':
    rec_subset_test()
    dp_subset_test()

 问题5：简单01背包

给定 n 种物品和一个容量为 W 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi。应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

6种物品情况：
v = [8, 10, 6, 3, 7, 2]
w = [4, 6, 2, 2, 5, 1]
背包体积W为12

状态转移方程

c(i,w)表示选择第i件物品时得到的物品最大总价值。

出口条件

if(i==0 or w==0)  return 0
if(wi>W) return c(i-1)(w)

使用二维数组进行存储结果

i, j

背包容量
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

物品编号	0
	1
	2
	3
	4
	5
	6

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	8	8	8	8	8	8	8	8	8
0	0	0	0	8	8	10	10	10	10	18	18	18
0	0	6	6	8	8	14	14	16	16	18	18	24
0	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	19	24
0	0	6	6	9	9	14	14	17	17	19	21	24
0	2	6	8	9	11	14	16	17	19	19	21	24

详细代码

#!/usr/bin/python
#-*-coding:utf-8-*-

import numpy as np

arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6] #每个物品编号
v   = [8, 10, 6, 3, 7, 2] #每个物品价值
w   = [4, 6, 2, 2, 5, 1] #每个物品重量

W   = 12 #背包总价值

# 动态规划
def rec_pack(v, w, n, W):
    if(n<=0 or W <= 0):
        return 0
    elif(w[n-1] > W):
        return rec_pack(v, w, n-1, W)
    else:
        A = rec_pack(v, w, n-1, W-w[n-1]) + v[n-1]
        B = rec_pack(v, w, n-1, W)
        return max(A, B)

# 数组存放中间值
def dp_pack(v, w, n, W):
    V = np.zeros((len(v) + 1, W+1), dtype = np.int32)
    V[:, 0] = 0
    V[0, :] = 0
    for i in range(1, len(v) + 1):
        for j in range(1, W+1):
            if(w[i-1] > j): #物品重量 > 背包重量
                V[i,j] = V[i-1, j]
            else:
                A = v[i-1] + V[i-1, j-w[i-1]]
                B = V[i-1, j]
                V[i,j] = max(A, B)
    r,c = V.shape
    '''
    for i in range(0, len(v) + 1):
        print("
") #打印二维数组的值
        for j in range(1, W+1):
            print("%d "% V[i,j])
    '''
    return V[r-1, c-1]

if __name__ == '__main__':
    print(dp_pack(v, w, 6, 12))     # 24
    print(rec_pack(v, w, 6, 12))    # 24

问题6：走台阶

有n级台阶，一个人每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法

问题7：最长公共子序列

找到两个字符串间的最长公共子序列。假设有两个字符串sudjxidjs和xidjxidpolkj，其中djxidj就是他们的最长公共子序列。