线性规划问题的实例与定义
某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。 生产甲机床需用 A、 B机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床需用A 、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时 数分别为 A机器 10 小时、B 机器 8 小时和C 机器 7 小时。问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？
上述问题的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2乙机床时总利润z最大，则 x1，x2应满足
[max z=4000x_1+3000x_2\
s.t.=
egin{cases}
2x_1+x_2le10,\
x_1+x_2le8,\
x_2le7,\
x_1,x_2ge0.
end{cases}
]
其中：变量x1，x2称为决策变量。max表达式称为问题的目标函数，下面的不等式是问题的约束条件，记为s.t.（即subject to）。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
线性规划的Matlab标准形式及软件求解
线性规划的目标函数可以是求最大值也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于等于也可以是大于等于。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matc lab中规定线性规划的标准形式为
[min f^Tx\
s.t.=egin{cases}
Asdot xle b,\
Aeqsdot x=beq,\
lble xle ub.\
end{cases}
]
其中：f,x,b,beq,lb,ub为列向量，A，Aeq为矩阵。
调用形式
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %求最小值
[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%求最大值
输入变量
- f为目标函数中的价值系数向量（注意如果要去求最大值，则全部加负号求最小值）
- A为不等式约束系数矩阵
- b为不等式右端常数向量
- Aeq为等式约束系数矩阵
- beq为等式右端常数向量
- lb 为决策变量下界向量
- ub为决策变量上界向量
在调用时，输入参数不存在时，可以将其输入用[]空矩阵表示
输出变量
- x为最优解
- fval为最优目标值
具体实例
- 目标函数与约束条件
[max z=2x_1+3x_2-5x_3\
s.t.=egin{cases}x_1+x_2+x_3=7,\2x_1-5x_2+x_3ge10,\x_1+3x_2+x_3le12,\x_1,x_2,x_3ge0.
end{cases}
]
- Matlab程序
f=[2;3;-5];
A=[1,1,1];
b=7;
A=[-2,5,-1;1,3,1];
b=[-10;12];
Aeq=[1,1,1];
beq=7;
lb=zeros(3,1);%创建一个3X1的零矩阵 lb=[0,0,0]也可以
[x,y]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);
x,y=-y
- 运行结果
Optimal solution found.
x =
6.4286
0.5714
0
y =
14.5714