单源最短路径

   1、问题描述

     给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。

    2、Dijkstra算法

     Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。
    其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。

    Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]<dist[i]，则需要更新dist[i]的值。步骤如下：

   (1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧<vi,vj>上的权值。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i], vi属于V.
   (2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}.

   (3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j]< dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j]. 
   (4) 重复操作(2),(3)共n-1次.

算法具体实现如下 

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
#define N 5
#define M 10000

template<class Type>
void Dijkstra(int n,int v,Type dist[],int prev[],Type c[][N+1])
{
bool s[N+1];
for(int i1=1; i1<=n; i1++)
{
dist[i1] = c[v][i1];
s[i1] = false;

if(dist[i1] == M)
{
prev[i1] = 0;
}
else
{
prev[i1] = v;
}
}

dist[v] = 0;
s[v] = true;

for(int i=1; i<n; i++)
{
int temp = M;
int u = v;


for(int k=1; k<=n; k++)
{
if((!s[k]) && (dist[k]<temp))
{
u = k;
temp = dist[k];
}
}
s[u] = true;


for(int j=1; j<=n; j++)
{
if((!s[j]) && (c[u][j]<M))
{
Type newdist = dist[u] + c[u][j];
if(newdist < dist[j])
{
dist[j] = newdist;
prev[j] = u;
}
}
}
}
}


void Traceback(int v,int i,int prev[])
{
if(v == i)
{
cout<<i;
return;
}
Traceback(v,prev[i],prev);
cout<<"->"<<i;
}

int main()
{
int v = 1;
int dist[N+1],prev[N+1],c[N+1][N+1];

cout<<"有向图权的矩阵为："<<endl;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
for(int j=1; j<=N; j++)
{
cin>>c[i][j];
}
cout<<endl;
}

Dijkstra(N,v,dist,prev,c);

for(int j=2; j<=N; j++)
{
cout<<"源点1到点"<<j<<"的最短路径长度为:"<<dist[j]<<"，其路径为";
Traceback(1,j,prev);
cout<<endl;
}

return 0;
}