Lintcode: Fast Power 解题报告

Fast Power

原题链接：http://lintcode.com/en/problem/fast-power/#

Calculate the aⁿ % b where a, b and n are all 32bit integers.

Example

For 2³¹ % 3 = 2

For 100¹⁰⁰⁰ % 1000 = 0

Challenge

O(logn)

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SOLUTION 1:

实际上这题应该是suppose n > 0的。

我们利用 取模运算的乘法法则： http://baike.baidu.com/view/4887065.htm

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

将 a^n % b 分解为 (a^(n/2) * a^(n/2) * (a)) %b = ((a^(n/2) * a^(n/2))%b * (a)%b) %b = ((a^(n/2)%b * a^(n/2)%b)%b * (a)%b) %b

实现如下：

注意2个base case: n = 0 n = 1都要特别处理。因为n = 1时，会分解出一个pow(a, b, 1)，这个会不断循环调用。

class Solution {
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
    /*
     * @param a, b, n: 32bit integers
     * @return: An integer
     */
    public static int fastPower(int a, int b, int n) {
        // write your code here
        long ret = pow(a, b, n);
        
        return (int) ret;
    }
    
    // suppose n > 0
    public static long pow(int a, int b, int n) {
        if (a == 0) {
            return 0;
        }
        
        // The base case.
        if (n == 0) {
            return 1 % b;
        }
        
        if (n == 1) {
            return a % b;
        }
        
        long ret = 0;
        
        // (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
        ret = pow(a, b, n / 2);
        ret *= ret;
        
        // 这一步是为了防止溢出
        ret %= b;
        
        if (n % 2 == 1) {
            ret *= pow(a, b, 1);
        }
        
        // 执行取余操作
        ret = ret % b;
        
        return ret;
    }
};

SOLUTION 2:

或者你也可以把pow(a, b, 1)直接写为a % b. 以下解法把base case: n = 1就拿掉了。

// SOLUTION 2:
    // suppose n > 0
    public static long pow(int a, int b, int n) {
        if (a == 0) {
            return 0;
        }
        
        // The base case.
        if (n == 0) {
            return 1 % b;
        }
        
        long ret = 0;
        
        // (a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
        ret = pow(a, b, n / 2);
        ret *= ret;
        
        // 这一步是为了防止溢出
        ret %= b;
        
        if (n % 2 == 1) {
            ret *= (a % b);
        }
        
        // 执行取余操作
        ret = ret % b;
        
        return ret;
    }

GITHUB:

https://github.com/yuzhangcmu/LeetCode_algorithm/blob/master/lintcode/math/FastPower.java