lintcode: k Sum 解题报告

K SUM

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http://www.lintcode.com/en/problem/k-sum/ 题目来自九章算法

13%

Accepted

Given n distinct positive integers, integer k (k <= n) and a number target.

Find k numbers where sum is target. Calculate how many solutions there are?

Example

Given [1,2,3,4], k=2, target=5. There are 2 solutions:

[1,4] and [2,3], return 2.

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SOLUTION 1:

唉妈，主页君做这题搞了2，3小时差点吐血。不过，做出来还是很爽嘀！

取自黄老师（九章算法）的思想：

 

 

 

 

 

后面的优化主页君没有管。 F[0][0][0]表示在一个空集中找出0个数，target为0，则有1个解，就是什么也不挑嘛！

其实应该这样写，也就是说，找0个数，目标为0，则一定是有1个解：

if (j == 0 && t == 0) {
　　// select 0 number from i to the target: 0
　　D[i][j][t] = 1;
}

1. 状态表达式：

D[i][j][t] = D[i - 1][j][t];
if (t - A[i - 1] >= 0) {
D[i][j][t] += D[i - 1][j - 1][t - A[i - 1]];
}

意思就是：

（1）我们可以把当前A[i - 1]这个值包括进来，所以需要加上D[i - 1][j - 1][t - A[i - 1]]（前提是t - A[i - 1]要大于0）

（2）我们可以不选择A[i - 1]这个值，这种情况就是D[i - 1][j][t]，也就是说直接在前i-1个值里选择一些值加到target.

代码：

/**
     * @param A: an integer array.
     * @param k: a positive integer (k <= length(A))
     * @param target: a integer
     * @return an integer
     */
    public int  kSum1(int A[], int k, int target) {
        // write your code here
        if (target < 0) {
            return 0;
        }
        
        int len = A.length;
        
        int[][][] D = new int[len + 1][k + 1][target + 1];
        
        for (int i = 0; i <= len; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                for (int t = 0; t <= target; t++) {
                    if (j == 0 && t == 0) {
                        // select 0 number from i to the target: 0
                        D[i][j][t] = 1;
                    } else if (!(i == 0 || j == 0 || t == 0)) {
                        D[i][j][t] = D[i - 1][j][t];
                        if (t - A[i - 1] >= 0) {
                            D[i][j][t] += D[i - 1][j - 1][t - A[i - 1]];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        
        return D[len][k][target];
    }

SOLUTION 2:

我们可以把最外层的Matrix可以省去。

这里最优美的地方，在于我们把target作为外层循环，并且从右往左计算。这里的原因是：

D[i][j][t] += D[i - 1][j - 1][t - A[i - 1]];

这个表达式说明D[i][j][t]是把上一级i的结果累加过来。这里我们省去了i这一级，也就是说在D[j][t]这个表里就地累加。而且t - A[i - 1]小于t。

在以下图表示就是说D[j][t]是来自于上一行的在t左边的这些值中挑一些加起来。

所以我们就必须从右往左逐列计算来避免重复的累加。

1. 如果你从左往右按列计算，每一列会被重复地加总，就会有重复计算。我们可以想象一下，len = 0为上表，len = 1为下表。

现在我们只有一个表，就是下面这个（因为第一个维度被取消了），现在如果你从左往右计算，被sum的区域会被填掉，覆盖

len = 0 那张表留下的值，下一个值的计算就不会准确了。

2. 或者如果你逐行计算，也是不可以的。因为你也是把生成D[j][t](在图里写的是D[i][j])的被sum的区域覆盖，也会造成结果不准确。

3. 所以，只要我们逐列计算，并且顺序是从右往左，即使我们只有一个二维表，我们的被sum区域也可以保持洁净，从空间角度来想，

就相当于从len=0那张表中取值。

总结：这种思维方式可能在面试里很难遇到，不过，可以开拓我们思维，这里同样是动规时如果取得上一级的值的问题，并且它考虑了省

去一级，就地利用二维空间的值，那么就要考虑我们上一级的旧表不要被覆盖。可以在大脑中构思一个三维空间，一个三维表由多个二维

表构成，如果把它们用一个表来做，再思考一下即可。

// 2 dimension
    public int  kSum(int A[], int k, int target) {
        // write your code here
        if (target < 0) {
            return 0;
        }
        
        int len = A.length;
        
        // D[i][j]: k = i, target j, the solution.
        int[][] D = new int[k + 1][target + 1];
        
        // only one solution for the empty set.
        D[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            for (int t = target; t > 0; t--) {
                for (int j = 1; j <= k; j++) {
                    if (t - A[i - 1] >= 0) {
                        D[j][t] += D[j - 1][t - A[i - 1]];
                    }
                }
            }
        }
        
        return D[k][target];
    }

https://github.com/yuzhangcmu/LeetCode/blob/master/lintcode/dp/KSum.java