第一章 函数
1、实数
众所周知，数的概念充满了我们的生活空间。整数、分数和零统称为有理数。无理数在初等数学中已遇见过。如 (sqrt2)、(sqrt3)、(π)、(lg5)等等。
一切有理数和无理数统称为实数。实数与数轴身上的点一一对应，而且充满数轴并没有空隙。由此可知，数轴上的每一个点的坐标标识某一个实数；反之，每一个实数必是数轴上某一点的坐标。
2、区间
在某些问题的讨论中，我们往往限制在一部分实数范围内考虑，为了简明地表明部分实数，这里引进区间概念。
定义：区间是介于某两个实数之间的全体实数，并称这两个实数为区间的断点。
区间又分为有限区间和无限区间两大类。
1、有限区间
（1）、开区间
设(a)、(b)为两个实数，且(a < b),满足不等式 (a < x < b) 的一切实数x的全体叫做开区间，记做((a,b)).
（2）、闭区间
设(a)、(b)为两个实数，且(a < b),满足不等式 (a ≤ x ≤ b) 的一切实数的全体叫做闭区间，记做([ a,b ]).
（3）、半开区间
设(a)、(b)为两个实数，且(a < b)，满足不等式 (a < x ≤ b) 或 (a ≤ x < b) 的一切实数(x)的全体叫做半开区间，分别记做(( a,b ])和([ a,b)).
这里还得提及的是，区间两个端点间的距离称为区间的长度。
如上述各个区间的长度均是(b-a).
2、无限区间
两端没有限制，即满足不等式 (-∞ < x < +∞) 的一切实数构成的区间，记做((-∞,+∞));
左端没有显示，而右端有限制，即满足不等式 (-∞ < x < b)或者 (-∞ < x ≤ b) 的一切实数构成的区间记做((-∞,b))或((-∞,b]).
其表示小于或小于等于(b)的实数的全体。
右端没有限制，而左端有限制，即满足不等式 (a < x < +∞)或者 (a ≤ x < +∞)的一切实数构成的区间记做((a,+∞))或([a,+∞))
3、邻域
设(a)与(δ)是两个实数，且(δ>0),满足不等式 (|x-a|< δ) 的一切实数x的全体称为点(a)的(δ)邻域，并称(a)为邻域的中心，(δ)为邻域的半径。由此显然有 (a-δ < x < a+δ)
可见，邻域即是以点(a)为中心，长度为2δ的开区间((a-δ,a+δ)).
3、常量和变量
自然现象中，我们常常遇到两种不同的量，一种是在过程的进行中始终保持不变的量，也即保持一定数值的量；还有一种是在过程的进行中不断改变的量，即可取不同数值的量，这两种量即是所谓常量和变量。
定义：在某一过程中数值保持不变的量叫做常量，数值不断变化的称为变量。
一个量是常量还是变量，并不是绝对的，其依赖于研究这个现象的所在场合。如研究一个圆的面积，他的半径(r)有确定值，那么(r)是常量。若研究若干个半径不相同的圆的面积时，(r)即是变量了。
对于量(x)，其每一个值都是一个数，因此可用数轴上一个点来代表它。如果(x)是常量，则在数轴上用一个定点来表示，如果(x)是变量，则在数轴上用一个动点来表示。
4、函数
4.1、函数
自然界中，每一事物的运动都与它周围其他事物相互联系，并相互制约，如圆的面积(s)依赖于它的半径(r)，其(s)与(r)之间的关系由公式 (s=πr^2) 确定。
又如，在自由落体运动中，落下的距离s随时间t在变化，它们的依赖关系用公式 (s=frac{1}{2}gt^2) 来确定，其中(g)为重力加速度。
在数学中，对于同一变化过程中变量之间的这种确定关系就是所谓函数关系。
定义：设(x)和(y)是两个变量，当(x)在其允许取值范围内取某个特定值时，变量(y)依赖某种确定的关系也有一个确定的值与之对应。则称(y)是(x)的函数。记做 (y=f(x))。其中(x)叫做自变量，(y)叫做因变量，自变量(x)的允许取值范围叫做函数的定义域。
(f(x))也表示与(x)值相对应的函数值，全体函数值缩成的集体叫做函数的值域。
(y)是(x)的函数也可记为 (y=g(x))、(y=φ(x))、(y=F(x))。
4.2、函数的表示方法
表示函数的对应关系可以用各种方式表达出来，通常有解析法、列表法和图像法。
(1)、解析法
解析法即是对两个变量之间的函数关系用解析式子来表示，也即用数学式子来表示。如(y=2x^2)、(y=sinx)等等，解析法又称为分析法。
(2)、列表法
列表法即是对两个变量之间的函数关系用表格来表示。
(3)、图像法
图像法即是对两个变量之间的函数关系用图像表示。
必须指出的是，两个变量的函数关系不一定由一个解析式给出，对于不同的定义域由不同的解析式给出。如 (y=f(x)=x+1(x<0),0(x=0),x-1(x>0))
4.3 复合函数
定义：设(y)是(u)的函数(y=f(u))，而(u)又是(x)的函数 (u=μ(x))，则y称为x的复合函数，记作 (y=f[φ(x)])其中(u)称为中间变量。
通常我们把无中间变量的函数称为简单函数。
5、函数的特征
5.1 函数的单值性和多值性
定义：设有函数 (y=f(x))，若对于自变量x的一个值，因变量(y)只有一个确定的值与之对应，则称为这种函数为单值函数。否则称这种函数为多值函数。
5.2 函数的奇偶性
定义：对于函数 (y=f(x)) ，若 $ f(-x)=-f(x)$ 则称该函数为奇函数；若 (f(-x)=f(x)) 则称该函数为偶函数。
显然，偶函数的图形对称于(y)轴。而奇函数的而图形对称于原点。
5.3 函数的周期性
定义：对于函数 (y=f(x)),若存在一实数 (T≠0)，有 (f(x+T)=f(x)) 则称该函数为以T为周期的周期函数，否则称(f(x)) 为非周期函数。
5.4 函数的单调递减性
定义：对于函数 (y=f(x))，若在区间((a,b))内有任意两点 (x_1)、(x_2)，当(x_1)<(x_2)时，有 (f(x_1)<f(x_2))则称该函数在区间((a,b))内为单调增加；当(x_1) <(x_2)时，有 (f(x_1))>(f(x_2))则称该函数在区间((a,b))内为单调减少。
显然，单调增加函数即是沿横轴方向上升，单调减少函数即是沿横轴方向下降。
同样，我们可以定义无限区间上的单调增加或单调减少的函数，在整个区间上为单调增加或单调减少的函数称为单调函数。
5.5 函数的有界性
定义：对于函数 (y=f(x))，若存在一个正数(M)，对定义域上的任意(x)，总有(|f(x)|≤M)则称(f(x))为定义域上的有界函数。若这样的数(M)不存在，则称(f(x))为定义域上的无界函数.
6、反函数
定义：对于函数(y=f(x))，若将(y)当做自变量，(x)当做因变量，用(y)写出(x)的表达式(x=μ(y))叫做(f(x))的反函数，称(f(x))为直接函数。
不难知道反函数的图形与直接函数的图形关于直线(y=x)对称。
7、初等函数
7.1 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，他们分别为
1、幂函数 (y=x^μ)(μ是实数)
2、指数函数 (y=a^x(a>0，a≠1))
3、对数函数 (y=log_ax(a>0,a≠1,,x>0))
4、三角函数 (y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx)
5、反三角函数 (y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx)
此外函数(y=c)(c为常数) 称为常值函数，它的图形是平行于(x)轴的直线。
7.2 初等函数
定义：由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的符合步骤而构成，并能用解析式子表示的函数都称为初等函数。
最后我们还得指出的是，只有一个自变量的函数称为一元函数，有两个或两个以上自变量的函数称为多元函数。