hdu 4196 Remoteland（C++）（费马小定理求逆元，基本算术定理）

hdu 4196 Remoteland

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题目描述

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

Problem Description
In the Republic of Remoteland, the people celebrate their independence day every year. However, as it was a long long time ago, nobody can remember when it was exactly. The only thing people can remember is that today, the number of days elapsed since their independence (D) is a perfect square, and moreover it is the largest possible such number one can form as a product of distinct numbers less than or equal to n.
As the years in Remoteland have 1,000,000,007 days, their citizens just need D modulo 1,000,000,007. Note that they are interested in the largest D, not in the largest D modulo 1,000,000,007.

Input
Every test case is described by a single line with an integer n, (1<=n<=10,000, 000). The input ends with a line containing 0.

Output
For each test case, output the number of days ago the Republic became independent, modulo 1,000,000,007, one per line.

Sample Input
4
9348095
6297540
0

Sample Output
4
177582252
644064736

中文翻译

Problem Description
在Remoteland共和国，人们每年都庆祝独立日。然而，因为独立日是很久以前的事了，没有人能记得它确切的时间。人们唯一能记住的是，今天自独立以来的天数（D）是一个完全平方数。而且，D的值等于小于等于n的部分数的乘积最大值。
由于Remoteland国一年有1,000,000,007天，他们的公民只需要把D对1,000,000,007取模即可。注意，他们只对最大的D感兴趣，而不是最大的D模1,000,000,007感兴趣。

Input
每个测试用例都由一行整数n（1<=n<=10,000,000）表示。以输入“0"的行结尾。

Output
对于每个测试用例，输出自共和国独立以来的天数D（模1,000,000,007），每行一个。

Sample Input
4
9348095
6297540
0

Sample Output
4
177582252
644064736

解题思路

题意：
输入一个n,然后让你在1到n中选出某些数，把它们乘起来，使得乘积最大，并且乘积必须是完全平方数。

分析：
输入一个n，那么D的最大可能数就是$n!$（n的阶层）。

根据基本算术定理：任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 $N=P_1^{a_1}*P_2^{a_2}*…*P_n^{a_n}$ , 这里$P_1&lt;P_2&lt;...&lt;P_n$是质数，其诸方幂$a_i$ 是正整数。

所以，$D=n*(n-1)*(n-2)*…*1=n!$ 也可以拆成一堆素数的乘积。

而且，从算数基本定理来考虑， 如果一个数字D是完全平方数，那么其所有质因子的指数都是偶数。因为，$D=x^2$，而x可以按照基本算术定理唯一拆成限个质数的乘积。既然是唯一，那么$x^2$，就是把x中有限个质数的指数乘以2，就可以得到D拆成有限个质数的形式。

比如：令x=945，D=945*945=893025。
那么可以看出来：$x=945=3^3*5^1*7^1$
根据基本算术定理，945的这个分解法是唯一的。
所以 $D=945*945=3^6*5^2*7^2$这个也是唯一的。
所以如果一个数字D是完全平方数，那么其所有质因子的指数都是偶数。

所以，我们只需要枚举 n！可以拆分的所有质因子，看其质因子的指数是否为偶数。

如果当前处理的质因子的指数是偶数，那么起码说明这个质因子是符合要求的，暂且保留。

但是如果是奇数，那么说明这个质因子不符合要求，所以我们就要删除这个当前处理的质因子。（删去当前的质因子不会影响结果。因为如果有当前的这个质因子，那么[1,n]之间一定有一个数字正好等于当前的这个质因子，所以我们除掉一个，就相当于将这个单独的数去掉，不会影响什么。）

这样，保留符合要求的（即质因子的指数是偶数），删去不符合要求的（即质因子的指数是奇数），那么就相当于剔除了 n! 里面多余的质数。这样符合要求的质因子的乘积构成的数，既满足其是一个完全平方数，又满足其是小于等于n的不相同的部分数的乘积。

则题目求解的步骤便是：
1、打素数表。
2、计算 n！中含有的每个素因子个数，如果为偶数就保留这个素因子的乘积，如果是偶数就删掉。
3、把所有符合要求的都相乘得到D，然后每乘一次取模一次就不会爆。

看似很简单，但当你实际写代码出来，发现其规模太大了，即使快速幂、快速乘也是会超时。

只好另找思路:

按照之前的思路：D为用 n！除去那些奇数个因子的乘积。等价于求a=c/b，其中a为D，c为 n! ，b为奇数个因子的乘积。由于是取模的，直接除必然不行。

这里先贴出费马小定理：对任意a和任意质数p，有$a^pequiv a(modspace p)$；当a与p互质时，进一步有$a^{p-1}equiv 1(modspace p)$

令p为题中的1,000,000,007。
考虑$cspace modspace p=(aspace modspace p)*(bspace modspace p)$；
令A=a mod p， B=b mod p，C=c mod p;
则:
$egin{aligned}A&amp;=aspace modspace p\ &amp;=(a*1)space modspace p\ &amp;=(aspace modspace p)*(1space modspace p)end{aligned}$

因为费马小定理，所以$(b^{p-1})modspace p=1$，即

$egin{aligned}A&amp;=(aspace modspace p)*(b^{p-1}space modspace p) \ &amp;=(a*b^{p-1})space modspace p\ &amp;=[(a*b)space modspace p]*[(b^{p-2})space modspace p]\ &amp;=(cspace modspace p)*[(bspace modspace p)^{p-2}space modspace p]\ &amp;=C*B^{p-2}end{aligned}$

即 $aspace modspace p=[cspace modspace p]*[bspace modspace p]^{p-2}$

即 $Dspace modspace p=[(n!)space modspace p]*[(奇数个因子的乘积)space modspace p]^{p-2}$，p=1,000,000,007。

利用这个，就可以求出D的结果。

其实以上另找的思路就是费马小定理求逆元的推导过程。
有关逆元的相关知识可以参考 逆元 这篇博客。

则题目求解的步骤便是：
1、打素数表
2、计算 n! 中含有素因子个数，如果为奇数就保留这个素因子的乘积，以便最后相除
3、求出除法结果

问题解答

#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#define LL long long 
using namespace std;

const int MAXN = 1e7+11;
const int MAXM = 1e7+11;
const int mod =  1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;


int prm[MAXN+2],sz; bool su[MAXN+2]; int fac[MAXM];  
void init(){
    su[0]=su[1]=true;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++){
        if(!su[i])  prm[++sz]=i;
        for(int j=1;j<=sz;j++){
            int t=i*prm[j];
            if(t>MAXN) break;
            su[t]=true;
            if(i%prm[j]==0) break;
        }
    }
    fac[0]=fac[1]=1; 
    for(int i=2;i<=MAXM;i++){
        fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    }
}
LL power(LL a,LL b,LL c){
    LL s=1,base=a%c;
    while(b){
        if(b&1) s=s*base%c;
        base=base*base%c;
        b>>=1;
    }
    return s;
}
LL inv(LL a){  // 费马小定理求逆元
    return power(a,mod-2,mod);
}
void solve(LL n){
    LL ans=fac[n]; LL temp=1;
    for(int i=1;i<=sz;i++){
        LL cnt=0; LL t=n;
        if(n/prm[i]){
            while(t){
                cnt+=t/prm[i];
                t/=prm[i];
            } 
            if(cnt&1) temp=temp*prm[i]%mod;  // 将所有要除的先都存起来，最后求一下逆元， 一开始这里直接就求逆元了，无限TLE。
        }else break; 
    }
    ans=ans*inv(temp)%mod; // 只要这里求一次逆元就行了 
    printf("%lld
",ans);
}
int main(){
     LL n; init();
     //printf("%d
",sz);
     while(scanf("%lld",&n)&&n){
          solve(n);
    }
    return 0;
}

另外的解题思路

当第一次超时后，不用费马小定理的逆元，而找其他思路。

题目中要求n！这给计算提供了便利，从1到n，依次判断是不是质数，如果为合数直接乘积。
容易知道，最后的乘积为$(P_1^{a1-1})*(P_2^{a2-1})......(P_n^{an-1})$。
然后判断 n！的质因数为几次，若为偶次还需乘一次，若为奇次不须处理。

即在这里采用一个巧妙的处理：在筛选素数时预处理阶乘，当这个数是素数先不用乘到阶乘中去，最后判断幂时如果是偶次幂再乘到结果中去。

问题解答

#include <stdio.h>

long long ans[10000001];
char comp[10000001];
int primes[700000];

int main()
{
    /*预处理操作，筛素数和预处理阶乘*/
	ans[0] = ans[1] = 1;//阶乘
	int l = 0;
	for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
		ans[i] = ans[i-1];
		if (!comp[i]) //如果是素数，就先不乘
		{
			primes[l++] = i;
			if(i<4000)
				for(int j=i*i;j<=10000000;j+=i)
					comp[j] = 1;
		}
		else
			ans[i] = (ans[i]*i)%1000000007;//是合数直接乘
	}
	
	int n;
	while(scanf("%d", &n) == 1 && n)
	{
		long long res = ans[n];
		for (int i=0;i<l && primes[i]<=n/2;++i)
		{
			int cnt = 0;//cnt所求的是primes[i]的幂指数，这里用到的是勒让德定理
			int tn = n;//tn统计素因子的幂次
			do{
				tn /= primes[i];
				cnt += tn;
			}while( tn>=primes[i] );
			if( cnt%2==0 )//如果素数i的幂指数是偶数就乘到结果中去
				res = (res*primes[i])%1000000007;
		}
		printf("%lld
", res);
	}
	return 0;
}