蓄水池抽样算法

问题定义

给你一个长度为N的链表。N很大，但你不知道N有多大。你的任务是从这N个元素中随机取出k个元素。你只能遍历这个链表一次。你的算法必须保证取出的元素恰好有k个，且它们是完全随机的（出现概率均等）。

求解

蓄水池抽样算法：

该算法是针对从一个序列中随机抽取不重复的k个数，保证每个数被抽取到的概率为k/n这个问题而构建的。做法是： -
首先构建一个可放k个元素的蓄水池，将序列的前k个元素放入蓄水池中。
然后从第k+1个元素开始，以k/n的概率来决定该元素是否被替换到池子中。 当遍历完所有元素之后，就可以得到随机挑选出的k个元素。复杂度为O(n).

其伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k

        for    i= k+1 to N

            M=random(1, i);
            if( M < k)
                 SWAP the Mth value and ith value
       end for

证明每个数被取到的概率为k/n:

1. 对于第i个数(i<k)，在前k步被选中的概率是1， 从第k+1步开始，i不被选中的概率为k/k+1,那么读到第n个数时， 第i个数(i<k)被选中的概率 = 被选中的概率 * 以后每一步都不被换走的概率,即
   1 * k/k+1 * k+1/k+2 …n-1/n = k/n

2. 对于第j个数(j>=k)被选中的概率为： 在他出现时被选中的概率 * 在他出现以后不被换走的概率,即: 
   k/j * j /j+1 。。。n-1/n = k/n

3. 综上得证。

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