题目大意
给你一个自动机，包含(n)个状态，指令集为前(m)个小写字母，对于每个状态(s)和每个指令(i)，自动机均有后继(T(s,i))。请你求出一个长度不超过(2^{20})的指令序列，使得无论自动机当前处在哪个状态（包括初始状态），按顺序执行指令序列的所有指令后，自动机都处于初始状态(1)。无解输出([impossible])
(1leq nleq 100,1leq mleq 26)
题解
首先要证明一个结论：原问题有解等价于对于任意状态(i)，都存在一个指令序列(S_i)使得(T(s,S_i)=1)且(T(1,S_i)=1)。
必要性显然。如果不存在(S_i)，那么状态(i)和状态(1)一定不可能同时转移到状态(1)。
对于充分性，我们考虑所有当前可能的状态集合(U)。一开始(U={1,2,3ldots n})。每次我们任选(U)中一个状态(t)，执行(S_t)。这样我们会得到一个集合(U')，满足(1in U')且(|U'|<|U|)。这样我们经过若干步后可以得到(U={1})。我们把所有(S_t)连在一起得到一个指令序列(S)，易证(S)是满足要求的。
所以我们每次任选(U)中的一个状态(t)，求出(S_t)，然后执行(S_t)，直到(|U|=1)为止。
对于状态(i)，求(S_i)的时间复杂度是(O(n^2))的，执行(S_i)是(O(n^3))的，总共要执行(O(n))次，所以时间复杂度是(O(n^4))的。
每个(S_i)的长度是(O(n^2))的，总共要执行(O(n))次，所以答案的长度是(O(n^3))的
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int a[110][30];
int n,m;
char s[10000010];
int cnt;
int c[110];
int d[110];
int vis[110][110];
int st[10010];
int top;
int dfs(int x,int y)
{
if(x==1&&y==1)
return 1;
vis[x][y]=1;
int i;
for(i=1;i<=m;i++)
{
int lx=a[x][i];
int ly=a[y][i];
if(!vis[lx][ly])
{
st[++top]=i;
if(dfs(lx,ly))
return 1;
top--;
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
a[i][j]++;
}
cnt=0;
for(i=1;i<=n;i++)
c[i]=i;
int now=n;
while(now>1)
{
memset(vis,0,sizeof vis);
top=0;
if(!dfs(1,c[2]))
{
printf("[impossible]");
return 0;
}
for(i=1;i<=top;i++)
{
s[++cnt]=st[i]+'a'-1;
for(j=1;j<=now;j++)
c[j]=a[c[j]][st[i]];
}
sort(c+1,c+now+1);
now=unique(c+1,c+now+1)-c-1;
}
s[cnt+1]=' ';
printf("%s
",s+1);
return 0;
}