【XSY2733】Disembrangle DP

题目描述

　　有一个(3 imes n)的网格，一些格子里已经有棋子了，一些格子里还没有。

　　每次你可以选择往一个没有棋子的格子里放一个棋子，但要满足这个格子上下两个格子都有棋子或左右两个格子都有棋子。

　　你的任务是把这个网格填满。问你有几种填法。

　　(nleq 2000)

题解

　　先判无解。

　　如果四个角没有棋子或在第(1/3)行有两个相邻的空格就无解。

　　然后DP。

　　可以对于每个连通块分开DP，然后把结果合并。

　　可以看出一个连通块只可能通过第(2)行相邻。

　　设(f_{i,j,k})为前面(i)行，((2,i))这个格子在前面所有空格中是第(j)个放的，((2,i+1))是否需要在((2,i))之前放 的方案数。

　　转移：枚举((2,i+1))是在什么时候放的。

　　设(c)为第(i+1)列两边的空格数。

　　(f_{i,j,1} ightarrow f_{i+1,l,0}(lleq j))，上下都要先放：(A(l-1,c))

　　(f_{i,j,0} ightarrow f_{i+1,l,1}(l>j))，上下有一个后放：(c(l-1)A(cnt-l,c-1))，两个都后放：(A(cnt-l,2))

　　$f_{i,j,0} ightarrow f_{i+1,l,0} (，上下都要先放：)A(l-1,c)$

　　其中(A(n,m))为排列数。

　　可以用前缀和优化DP。

　　还要考虑((2,i))不是空格但((1,i),(3,i))是空格的情况。

　　时间复杂度：(O(n^2))

代码

$f_{i,j,1}
ightarrow f_{i+1,l,0}(lleq j)$，上下要先放：$A(l-1,c)$

$f_{i,j,0}
ightarrow f_{i+1,l,1}(l>j)$，上下至少有一个没放：$c(l-1)A(cnt-l,c-1)$

$f_{i,j,0}
ightarrow f_{i+1,l,0}$，上下先放：$A(l-1,c)$