题目描述
有(1sim n)一共(n)个数。保证(n)为偶数。
你要把这(2n)个数两两配对，一共配成(n)对。每一对的权值是他们两个数的和。
你想要知道这(n)对里最大的权值的期望是多少。
请输出答案对(1000000007)取模的值。
(nleq 500000)
题解
枚举(v)，计算最大权值(leq v)的概率。
从大到小枚举(> frac{v}{2})的数，这些数每次都有(v-n)种选择，方案数为
[{(v-n)}^{n-frac{v}{2}}
]
(leq frac{v}{2})的数可以随便匹配。
记(f(x))为(x)个数随便匹配的方案数，那么
[f(x)=frac{x!}{2^{frac{x}{2}}(frac{x}{2})!}
]
（考虑(x)的全排列，(a_{2i-1})和(a_{2i})匹配。）
时间复杂度：(O(nlog n))
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
ll s=1;
for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
if(b&1)
s=s*a%p;
return s;
}
ll f[500010];
ll g[1000010];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("b.in","r",stdin);
freopen("b.out","w",stdout);
#endif
int n;
scanf("%d",&n);
ll ans=0;
f[0]=1;
for(int i=2;i<=n;i+=2)
f[i]=f[i-2]*(i-1)%p;
for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
g[i]=fp(i-n,n-i/2)*f[n-2*(n-i/2)]%p;
for(int i=2*n;i>=n+1;i--)
g[i]=(g[i]-g[i-1])%p;
for(int i=n+1;i<=2*n;i++)
ans=(ans+g[i]*i)%p;
ans=ans*fp(f[n],p-2)%p;
ans=(ans+p)%p;
printf("%lld
",ans);
return 0;
}