51nod 1307 绳子与重物 二分+dfs / 并查集

题目链接:

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1307

题意:

题解:

方法一：
因为所有绳子最终组成了1棵树，所以我们可以通过一次DFS，来检测是否有某根绳子下面绑了超过他所能负荷的重量。
具体方法：对每个节点，计算其子树的重量和（包含自身的重量），如果大于能承受的最大重量，则绳子会断，否则不会断。
一次DFS时间复杂度是O(n)的。
既然一次判断的复杂度是O(n)的，并且当绳子第一次断掉后，继续放重物，不会改变绳子断掉的状态（毕竟重物的重量都是正数，没有负数），那么我们可以用二分来做。
二分来求第一次断掉的点，由于二分的复杂度是log(n)，一次DFS判断的复杂度是O(n)，所以整个算法的复杂度是nlog(n)。
二分经常被用来求解一些具有单调性的问题，这里的单调性就是断掉以后，不会再次变成不断的。

方法二：
我们在DFS的过程中，使用并查集，将子树节点的Root指向当前节点，同时计算子树的总重量。
假如当前节点的承重不足，那么绳子会断掉。所以我们需要去掉一些节点，来保证绳子不断。根据题目要求，我们按照子树节点的编号从高到低，逐个去掉这些重物，直到绳子不断为止。
那么问题来了，并查集这个结构并不能解决按照编号从高到低去掉子树的问题，如果自己维护其他的数据结构（比如堆），恐怕复杂度还要多一个Log。

所以我们跳出按照编号从高到低去掉子树的思路，不如直接从编号N - 1到0去掉子树，直到当前的绳子不断为止。 因为编号小的断了，后面再加的绳子也没有用了，已经有绳子断了就结束了。

代码:

二分：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MS(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MP make_pair
#define PB push_back
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
const int maxn = 1e5+10;

struct node{
    int c,w,f;
}e[maxn];

vector<int> g[maxn];

bool book;

ll dfs(int u,int k){
    ll sum = e[u].w;
    if(u > k) return 0;
    for(auto v : g[u])
        sum += dfs(v,k);
    if(sum > e[u].c && u) book = false;
    return sum;
}

int main(){
    int n=read();
    for(int i=1; i<=n; i++){
        e[i].c=read(); e[i].w=read(); e[i].f=read(); e[i].f++;
        g[e[i].f].push_back(i);
    }

    int l=0,r=n,ans = 0;
    while(l<=r){
        int mid = (l+r)/2;
        book = true;
        dfs(0,mid);
        if(book) ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

并查集：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MS(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MP make_pair
#define PB push_back
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll INFLL = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
const int maxn = 1e5+10;

struct node{
    ll c,w,f;
}e[maxn];

vector<int> g[maxn];
int fa[maxn];
ll ww[maxn];
int k;

int find(int x){
    return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]);
}

void update(int u){
    for(auto v : g[u]){
        e[u].w += e[v].w;
        fa[v] = u;
    }

    while(e[u].w > e[u].c){
        e[find(k)].w -= ww[k];
        k--;
    }
}

int main(){
    int n=read();
    for(int i=1; i<=n; i++){
        e[i].c=read(); e[i].w=read(); e[i].f=read(); e[i].f++;
        g[e[i].f].push_back(i); ww[i] = e[i].w;
        fa[i] = i;
    }

    k = n;
    for(int i=n; i>0; i--)
        update(i);

    cout << k << endl;

    return 0;
}