POJ 1837 -- Balance
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提示：动态规划，01背包
初看此题第一个冲动就是穷举。。。。不过再细想肯定行不通= =O(20^20)等着超时吧。。。
我也是看了前辈的意见才联想到01背包，用动态规划来解
题目大意：
有一个天平，天平左右两边各有若干个钩子，总共有C个钩子，有G个钩码，求将钩码全部挂到钩子上使天平平衡的方法的总数。
其中可以把天枰看做一个以x轴0点作为平衡点的横轴
输入：
2 4 //C 钩子数 与 G钩码数
-2 3 //负数：左边的钩子距离天平中央的距离；正数：右边的钩子距离天平中央的距离c[k]
3 4 5 8 //G个重物的质量w[i]
dp思路：
每向天平中方一个重物，天平的状态就会改变，而这个状态可以由若干前一状态获得。
首先定义一个平衡度j的概念
当平衡度j=0时，说明天枰达到平衡，j>0，说明天枰倾向右边（x轴右半轴），j<0则相反
那么此时可以把平衡度j看做为衡量当前天枰状态的一个值
因此可以定义一个 状态数组dp[i][j]，意为在挂满前i个钩码时，平衡度为j的挂法的数量。
由于距离c[i]的范围是-15~15，钩码重量的范围是1~25，钩码数量最大是20
因此最极端的平衡度是所有物体都挂在最远端，因此平衡度最大值为j=15*20*25=7500。原则上就应该有dp[ 1~20 ][-7500 ~ 7500 ]。
因此为了不让下标出现负数，做一个处理，使使得数组开为 dp[1~20][0~15000]，则当j=7500时天枰为平衡状态
那么每次挂上一个钩码后，对平衡状态的影响因素就是每个钩码的 力臂
力臂=重量 *臂长 = w[i]*c[k]
那么若在挂上第i个砝码之前，天枰的平衡度为j
(换言之把前i-1个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度为j)
则挂上第i个钩码后，即把前i个钩码全部挂上天枰后，天枰的平衡度 j=j+ w[i]*c[k]
其中c[k]为天枰上钩子的位置，代表第i个钩码挂在不同位置会产生不同的平衡度
不难想到，假设 dp[i-1][j] 的值已知，设dp[i-1][j]=num
（即已知把前i-1个钩码全部挂上天枰后得到状态j的方法有num次）
那么dp[i][ j+ w[i]*c[k] ] = dp[i-1][j] = num
(即以此为前提，在第k个钩子挂上第i个钩码后，得到状态j+ w[i]*c[k]的方法也为num次)
想到这里，利用递归思想，不难得出 状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）
有些前辈推导方式稍微有点不同，得到的 状态方程为dp[i][j] =∑(dp[i - 1][j - c[i] * w[i]])
其实两条方程是等价的，这个可以简单验证出来，而且若首先推导到第二条方程，也必须转化为第一条方程，这是为了避免下标出现负数
结论：
最终转化为01背包问题
状态方程dp[i][ j+ w[i]*c[k] ]= ∑（dp[i-1][j]）
初始化：dp[0][7500] = 1; //不挂任何重物时天枰平衡，此为一个方法
复杂度O(C*G*15000) 完全可以接受
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxc = 15*25*20*2 + 1; 6 int dp[21][maxc]; 7 ///dp[i][j]当第i个砝码挂上后，平衡度为j的挂法数量 8 ///dp[G][0]为答案 9 int X[21]; 10 int main() 11 { 12 13 int C,G;//C为钩盘数，G为砝码数 14 while(cin>>C>>G){ 15 for(int i=1;i<=C;i++)///输入每个钩盘距离0的位置 16 cin>>X[i]; 17 int weight; 18 19 memset(dp,0,sizeof(dp)); 20 dp[0][7500] = 1;//7500为天枰达到平衡状态时的平衡度 21 //放入前0个物品后，天枰达到平衡状态7500的方法有1个，就是不挂钩码 22 for(int i=1;i<=G;i++) 23 { 24 cin>>weight; 25 for(int j=0;j<=15000;j++) 26 { 27 if(dp[i-1][j]) 28 for(int k = 1;k<=C;k++) 29 dp[i][j+weight*X[k]] += dp[i-1][j]; 30 } 31 } 32 cout<<dp[G][7500]<<endl; 33 } 34 return 0; 35 }
下列代码，提示，要注意循环结构的次序
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 using namespace std; 5 const int maxc = 15*25*20*2 + 1; 6 int dp[21][maxc]; 7 ///dp[i][j]当第i个砝码挂上后，平衡度为j的挂法数量 8 ///dp[G][0]为答案 9 int X[21]; 10 int main() 11 { 12 13 int C,G;//C为钩盘数，G为砝码数 14 while(cin>>C>>G){ 15 for(int i=1;i<=C;i++)///输入每个钩盘距离0的位置 16 cin>>X[i]; 17 int weight; 18 19 memset(dp,0,sizeof(dp)); 20 dp[0][7500] = 1;//7500为天枰达到平衡状态时的平衡度 21 //放入前0个物品后，天枰达到平衡状态7500的方法有1个，就是不挂钩码 22 for(int i=1;i<=G;i++) 23 { 24 cin>>weight; 25 for(int k = 1;k<=C;k++) 26 { 27 for(int j=0;j<=15000;j++) 28 { 29 if(dp[i-1][j]) 30 dp[i][j+weight*X[k]] += dp[i-1][j]; 31 } 32 } 33 34 } 35 cout<<dp[G][7500]<<endl; 36 } 37 return 0; 38 }
