最近公共祖先（lca）

lca来啦||ヽ(*￣▽￣*)ノミ|Ю！！！

开不开心qwq

这篇博客里面开头是用来给我自己复习理解用的（如果某些巨神已经会了lca也可以看一下加深一下印象），后面是我找到的一些比较好的介绍lca的博客，与君共勉（qwq其实是因为我害怕自己之后忘了lca的实现方法所以又找的博客）

对lca的理解：（lca的实现过程）

1.bfs建树：（由于要bfs 所以当然应设置一个queue啦）

　　1.将根节点压入queue

　　2.只要队列不为空，循环取出队头，判断这个点是否被访问过（因为代码中又增设了一个变量d来记录当前节点的深度，又因为除了根节点之外的所有节点的深度都被规定为0，所以只要判断这个节点的深度是否被更新过【相当于判断是否是0】，就可以判断出这个节点在之前有没有被遍历过）

　　3.如果访问过，跳过这个元素进行下一个节点的访问，不然更新这个接点的深度，父亲节点以及fa[][]数组

　　4.将当前节点压入queue

2.求x y 的 lca：
　　1.使x的深度小于y（因为这里是跳x）

　　2.使x跳到y的深度

　　3.如果x==y，那么表示y就是x的lca ，直接返回y的值（或者x的值）

　　4.否则，x和y同时向上跳，直到找到lca

　　5.返回y或者x（这时候他们都等于lca）的值

好啦，lca的基本实现方法就是这样滴

(*^▽^*)

下面是详细的实现方法，转自：https://www.luogu.com.cn/blog/morslin/solution-p3379

@巨神MorsLin

LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。 ———来自百度百科

例如：

在这棵树中 17 和 8 的LCA就是 3， 9 和 7 的LCA就是 7 。

明白了LCA后，就下来我们就要探讨探讨LCA怎么求了 qwq

• 暴力算法

  以 17 和 18 为例，既然要求LCA，那么我们就让他们一个一个向上爬(我要一步一步往上爬 —— 《蜗牛》)，直到相遇为止。第一次相遇即是他们的LCA。 模拟一下就是：
  17−>14−>10−>7−>3
  18−>16−>12−>8−>5−>3
  最终结果就是 3
  当然这个算法妥妥的会T飞掉，那么我们就要进行优化，于是就有了用倍增来加速的倍增LCA，这也是我们今天介绍的重点。

• 倍增算法

  所谓倍增，就是按 2的倍数来增大，也就是跳 1,2,4,8,16,32不过在这我们不是按从小到大跳，而是从大向小跳，即按…… 32,16,8,4,2,1来跳，如果大的跳不过去，再把它调小。这是因为从小开始跳，可能会出现“悔棋”的现象。拿 5 为例，从小向大跳， 5≠1+2+4,所以我们还要回溯一步，然后才能得出 5=1+4；而从大向小跳，直接可以得出 5=4+1。这也可以拿二进制为例， 5(101)，从高位向低位填很简单，如果填了这位之后比原数大了，那我就不填，这个过程是很好操作的。

  还是以 17 和 18 为例，如果分别从 17和 18跳到 3的话，它们的路径分别是（此例只演示倍增，并不是倍增LCA算法的真正路径）：
  17−>3
  18−>5−>3

  可以看出向上跳的次数大大减小。这个算法的时间复杂度为 O(nlogn),已经可以满足大部分的需求。

  想要实现这个算法，首先我们要记录各个点的深度和他们 2^i级的的祖先，用数组 depth表示每个节点的深度， fa[i][j]表示节点 iii的 2^j级祖先。 代码如下：

  void dfs(int now, int fath) {  //now表示当前节点，fath表示它的父亲节点
  fa[now][0] = fath; depth[now] = depth[fath] + 1;
  for(int i = 1; i <= lg[depth[now]]; ++i)
      fa[now][i] = fa[fa[now][i-1]][i-1]; //这个转移可以说是算法的核心之一
                                  //意思是now的2^i祖先等于now的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先
                                      //2^i = 2^(i-1) + 2^(i-1)
  for(int i = head[now]; i; i = e[i].nex)
      if(e[i].t != fath) dfs(e[i].t, now);
  }

  预处理完毕后，我们就可以去找它的LCA了，为了让它跑得快一些，我们可以加一个常数优化(来自洛谷提高组讲义)

  for(int i = 1; i <= n; ++i) //预先算出log_2(i)+1的值，用的时候直接调用就可以了
    lg[i] = lg[i-1] + (1 << lg[i-1] == i);  //看不懂的可以手推一下

  接下来就是倍增LCA了，我们先把两个点提到同一高度，再统一开始跳。

  但我们在跳的时候不能直接跳到它们的LCA，因为这可能会误判，比如 444和 888，在跳的时候，我们可能会认为 111是它们的LCA，但 111只是它们的祖先，它们的LCA其实是 333。所以我们要跳到它们LCA的下面一层，比如 444和 888，我们就跳到 444和 555，然后输出它们的父节点，这样就不会误判了。

  int LCA(int x, int y) {
  if(depth[x] < depth[y]) //用数学语言来说就是：不妨设x的深度 >= y的深度
      swap(x, y);
  while(depth[x] > depth[y])
      x = fa[x][lg[depth[x]-depth[y]] - 1]; //先跳到同一深度
  if(x == y)  //如果x是y的祖先，那他们的LCA肯定就是x了
      return x;
  for(int k = lg[depth[x]] - 1; k >= 0; --k) //不断向上跳（lg就是之前说的常数优化）
      if(fa[x][k] != fa[y][k])  //因为我们要跳到它们LCA的下面一层，所以它们肯定不相等，如果不相等就跳过去。
          x = fa[x][k], y = fa[y][k];
  return fa[x][0];  //返回父节点
  }

  完整的求 17和 18的LCA的路径：
  17−>10−>7−>3
  18−>16−>8−>5−>3
  解释：首先， 18要跳到和 17深度相同，然后 18和 17一起向上跳，一直跳到LCA的下一层( 17是 7， 18是 5)，此时LCA就是它们的父亲

总体来说就是这样了，也不知道我这个蒟蒻讲的各位 dalao能不能看明白 orz

完整代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct zzz {
    int t, nex;
}e[500010 << 1]; int head[500010], tot;
void add(int x, int y) {
    e[++tot].t = y;
    e[tot].nex = head[x];
    head[x] = tot;
}
int depth[500001], fa[500001][22], lg[500001];
void dfs(int now, int fath) {
    fa[now][0] = fath; depth[now] = depth[fath] + 1;
    for(int i = 1; i <= lg[depth[now]]; ++i)
        fa[now][i] = fa[fa[now][i-1]][i-1];
    for(int i = head[now]; i; i = e[i].nex)
        if(e[i].t != fath) dfs(e[i].t, now);
}
int LCA(int x, int y) {
    if(depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    while(depth[x] > depth[y])
        x = fa[x][lg[depth[x]-depth[y]] - 1];
    if(x == y) return x;
    for(int k = lg[depth[x]] - 1; k >= 0; --k)
        if(fa[x][k] != fa[y][k])
            x = fa[x][k], y = fa[y][k];
    return fa[x][0];
}
int main() {
    int n, m, s; scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for(int i = 1; i <= n-1; ++i) {
        int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y); add(y, x);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        lg[i] = lg[i-1] + (1 << lg[i-1] == i);
    dfs(s, 0);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        int x, y; scanf("%d%d",&x, &y);
        printf("%d
", LCA(x, y));
    }
    return 0;
}

-----------题解完毕------------

-----------小蒟蒻vector代码实现----------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m,s,x,y,fa[5020000][25],dep[5020000];
vector<int> v[5020000];

void add(int x,int y)
{
    v[x].push_back(y);
}

queue<int> q;

void dfs(int p)
{
    q.push(p);
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=0;i<v[x].size();i++) 
        {
            int y=v[x][i];
             if(dep[y]) continue;
             dep[y]=dep[x]+1;
             fa[y][0]=x;
             
             for(int i=1;i<=23;i++)
             {
                 fa[y][i]=fa[fa[y][i-1]][i-1];
             }
             q.push(y);
        }
    }
}


int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    
    for(int i=23;i>=0;i--)
    {
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
    }
    
    if(x==y) return x;
    
    for(int i=23;i>=0;i--)
    {
        if(fa[x][i]!=fa[y][i]) 
        {
            x=fa[x][i];
            y=fa[y][i];
        }
    }
    
    return fa[x][0];
}

int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=n-1;i++) 
    {
        cin>>x>>y;
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    
    dep[s]=1;
    dfs(s);
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        cout<<lca(x,y)<<'
';
    }
    
    return 0;
    
}