1300：鸡蛋的硬度
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【题目描述】
最近XX公司举办了一个奇怪的比赛：鸡蛋硬度之王争霸赛。参赛者是来自世界各地的母鸡，比赛的内容是看谁下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司并不使用什么精密仪器来测量蛋的硬度，他们采用了一种最老土的办法--从高度扔鸡蛋--来测试鸡蛋的硬度，如果一次母鸡下的蛋从高楼的第a层摔下来没摔破，但是从a+1层摔下来时摔破了，那么就说这只母鸡的鸡蛋的硬度是a。你当然可以找出各种理由说明这种方法不科学，比如同一只母鸡下的蛋硬度可能不一样等等，但是这不影响XX公司的争霸赛，因为他们只是为了吸引大家的眼球，一个个鸡蛋从100 层的高楼上掉下来的时候，这情景还是能吸引很多人驻足观看的，当然，XX公司也绝不会忘记在高楼上挂一条幅，写上“XX公司”的字样--这比赛不过是XX 公司的一个另类广告而已。
勤于思考的小A总是能从一件事情中发现一个数学问题，这件事也不例外。“假如有很多同样硬度的鸡蛋，那么我可以用二分的办法用最少的次数测出鸡蛋的硬度”，小A对自己的这个结论感到很满意，不过很快麻烦来了，“但是，假如我的鸡蛋不够用呢，比如我只有1个鸡蛋，那么我就不得不从第1层楼开始一层一层的扔，最坏情况下我要扔100次。如果有2个鸡蛋，那么就从2层楼开始的地方扔……等等，不对，好像应该从1/3的地方开始扔才对，嗯，好像也不一定啊……3个鸡蛋怎么办，4个，5个，更多呢……”，和往常一样，小A又陷入了一个思维僵局，与其说他是勤于思考，不如说他是喜欢自找麻烦。
好吧，既然麻烦来了，就得有人去解决，小A的麻烦就靠你来解决了：）
【输入】
输入包括多组数据，每组数据一行，包含两个正整数n和m(1≤n≤100,1≤m≤10)，其中n表示楼的高度，m表示你现在拥有的鸡蛋个数，这些鸡蛋硬度相同（即它们从同样高的地方掉下来要么都摔碎要么都不碎），并且小于等于n。你可以假定硬度为x的鸡蛋从高度小于等于x的地方摔无论如何都不会碎（没摔碎的鸡蛋可以继续使用），而只要从比x高的地方扔必然会碎。
对每组输入数据，你可以假定鸡蛋的硬度在0至n之间，即在n+1层扔鸡蛋一定会碎。
【输出】
对于每一组输入，输出一个整数，表示使用最优策略在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数。
【输入样例】
100 1 100 2
【输出样例】
100 14
【提示】
最优策略指在最坏情况下所需要的扔鸡蛋次数最少的策略。
如果只有一个鸡蛋，你只能从第一层开始扔，在最坏的情况下，鸡蛋的硬度是100，所以需要扔100次。如果采用其他策略，你可能无法测出鸡蛋的硬度(比如你第一次在第二层的地方扔,结果碎了,这时你不能确定硬度是0还是1)，即在最坏情况下你需要扔无限次，所以第一组数据的答案是100。
思路：
这个题目有很多地方都有分析，我也看了好几个解答，但都说得不太明白（也许是我笨），我结合听的讲座和各家分析，加上自己的试验作以下分析。
这时的策略大体如下：第一，最简单的和种情况就是只有一只鸡蛋，那只能从一楼开始一层一层往上走，如果第一楼就破了，那硬度就是0，否则总能找到破与不破的两层。那意味着硬度为多少就得比硬度数多扔一次就好。如果题目给的楼层是100，那最坏的可能就是硬度为99，必须扔100次。（硬度不能为100，题目说了硬度小于n，也意味着从顶楼扔下，鸡蛋一定会碎，但这一次必须要扔)。第二，如果有两枚鸡蛋呢？那第一次就不用在第一楼扔，那在多少楼扔合适？答案是第14楼。那要是破了呢？说明硬度最大13，同时我们手里的鸡蛋也只有一枚了，那办法就只有一个了：从第一楼开始往上，根据刚才的经验，最多再扔13次就好（1-13楼全试，只有一枚鸡蛋，不能冒险哟）。那要是没破呢？又在哪扔呢？第27楼。要是破了，硬度在14-26之间，最多再试12次就可以了，加上之前14楼和27楼两次，共14次。要是没破，下一次选在39楼。同样要是破了，就从28开始往上走，最多走到第38楼，共14次，要是没破，就选50楼。。。。，以后每多一次间距就少一，均能保证14次能测出硬度。第三，为什么是14楼开始？10楼不行么？如果选10楼，要是破了，当然比刚才更快，那要是没破呢？下一次选多少楼？20？然后30、40、50、60、70、80、90？到了60己经扔了6次了，要是破了，最坏的情况是要再扔9次，在是没破又如何继续？明显不是最佳策略。那为什么是14次？按照刚才的策略1+2+3+...+14=105超过100了，说明14次一定能测出结果。第四，要是鸡蛋有更多个呢？比如有三个，第一次可以考虑对分：第50楼，要是不破，再二分，75楼.....，要是破了，就相当于两个鸡蛋测50楼，1+2+3+...+10=55，再有10次就可以搞定了。如果有四个鸡蛋呢？两次就把范围缩小到25楼了，1+2+3+...+7=28，共需9次。那要是鸡蛋无限呢，最多也是全二分，2^7=128，这个就是最效率的了，换句话说，对100层楼而言，多于7个鸡蛋也没用。第五，如果有m个鸡蛋n层楼呢？我们用f[n][m]记最少的次数。那可以枚举从第k层楼扔下，有两种情况：（1）鸡蛋破了，那硬度在1-k-1之间，我们得用余下的m-1个鸡蛋测试k-1层楼，这时f[n][m]=f[k-1][m-1]，（2）鸡蛋没破。那再测余下的k~n层楼就好，这时f[n][m]=f[n-k][m]，题目要求是最坏的情况，故需要取这两种情况的最大值。故f[n][m]=max(f[k-1][m-1],f[n-k][m])+1。对所有的k的取值得到若干个f[n][m]，这个我们可以选择k值，故把这些值再取最小值。f[n][m]=min(f[n][m],max(f[k-1][m-1],f[n-k][m])+1),这就是帅气的状态转移方程了。
代码：
/* 1+2+3+4+..+14>100 每次选择的楼层间数比上一次的楼层间数少一，只要楼层间数和>总楼层数， 则一定可以测出鸡蛋硬度 */ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m; int f[1020][1020]; int main() { while(cin>>n>>m)//楼高，鸡蛋个数 { memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)f[i][j]=i; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=2;j<=m;j++) for(int k=1;k<=i;k++) f[i][j]=min(f[i][j],max(f[k-1][j-1],f[i-k][j])+1); /*for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) cout<<f[i][j]<<" "; cout<<' '; }*/ cout<<f[n][m]<<' '; } }