拓扑排序

拓扑排序是对有向无环图的一种排序。表示了顶点按边的方向出现的先后顺序。假设有环，则无法表示两个顶点的先后顺序。

在现实生活中，也会有不少应用样例，比方学校课程布置图，要先修完一些基础课，才干够继续修专业课。

一个简单的求拓扑排序的算法：首先要找到随意入度为0的一个顶点，删除它及全部相邻的边，再找入度为0的顶点，以此类推，直到删除全部顶点。顶点的删除顺序即为拓扑排序。

    非常easy得到拓扑排序的伪代码：

    void TopSort（Graph g）

    {

        for (int i=0; i<vertexnum; i++)

        {

            vertex v = FindZeroIndegree(g);

            if (v is not vertex)        

                cout <<"the graph has cycle"<<endl;

            cout << v ;

            foreach vertex w adjacent to v

                w.indegree--;

        }

    }

   

    相同以上图为例，对于该图进行拓扑排序会得到：v1 v2 v5 v4 v3 v7 v6 或者v1 v2 v5 v4 v7 v3 v6 。

    仍然利用上一贴图的构建方法，进行验证。

    代码实现：

 

 

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAX_VERTEX_NUM    20
struct adjVertexNode
{
    int adjVertexPosition;
    adjVertexNode* next;
};
struct VertexNode
{
    char data[2];
    adjVertexNode* list;
    int indegree;
};
struct Graph
{
    VertexNode VertexNode[MAX_VERTEX_NUM];
    int vertexNum;
    int edgeNum;
};

void CreateGraph (Graph& g)
{
     int i, j, edgeStart, edgeEnd;
     adjVertexNode* adjNode;
     cout << "Please input vertex and edge num (vnum enum):" <<endl;
     cin >> g.vertexNum >> g.edgeNum;
     cout << "Please input vertex information (v1)/n note: every vertex info end with Enter" <<endl;
     for (i=0;i<g.vertexNum;i++)
     {
         cin >> g.VertexNode[i].data; // vertex data info.
         g.VertexNode[i].list = NULL;
         g.VertexNode[i].indegree = 0;
     }
     cout << "input edge information(start end):" <<endl;
     for (j=0; j<g.edgeNum; j++)
     {
         cin >>edgeStart >>edgeEnd;
         adjNode = new adjVertexNode;
         adjNode->adjVertexPosition = edgeEnd-1; // because array begin from 0, so it is j-1
         adjNode->next=g.VertexNode[edgeStart-1].list;
         g.VertexNode[edgeStart-1].list=adjNode;
         //每添加�一条边，则边的End顶点的入度加1
         g.VertexNode[edgeEnd-1].indegree++;
     }
}

void PrintAdjList(const Graph& g)
{
    cout << "The adjacent list for graph is:" << endl;
    for (int i=0; i < g.vertexNum; i++)
    {
        cout<< g.VertexNode[i].data << "->";
        adjVertexNode* head = g.VertexNode[i].list;
        if (head == NULL)
            cout << "NULL";
        while (head != NULL)
        {
            cout << head->adjVertexPosition + 1 <<" ";
            head = head->next;
        }
        cout << endl;
    }
}

VertexNode& FindZeroIndegree(Graph& g)
{
    for (int i=0; i<g.vertexNum; i++)
    {
        if (g.VertexNode[i].indegree==0)
            return g.VertexNode[i];
    }
    return g.VertexNode[0];
}
void TopSort(Graph& g)
{
    cout << "The topsort is:" <<endl;
    for (int i=0; i<g.vertexNum; i++)
    {
        VertexNode& v = FindZeroIndegree(g);
        if (v.indegree!=NULL)
            cout << "The graph has cycle, can not do topsort"<<endl;
        // print graph as topsort.
        cout<< v.data << " ";
        // for each vertex w adjacent to v, --indegree
        adjVertexNode* padjv = v.list;
        while (padjv!=NULL)
        {//！！这个算法这里破坏了原图中的入度信息。最后入度均为1
            g.VertexNode[padjv->adjVertexPosition].indegree--;
            padjv = padjv->next;
        }
        //避免入度信息均为零FindZeroIndegree找到删除的顶点，将删除的顶点入度置为1
        v.indegree++;
    }
    cout << endl;
}

void DeleteGraph(Graph &g)
{
    for (int i=0; i<g.vertexNum; i++)
    {
        adjVertexNode* tmp=NULL;
        while(g.VertexNode[i].list!=NULL)
        {
            tmp = g.VertexNode[i].list;
            g.VertexNode[i].list = g.VertexNode[i].list->next;
            delete tmp;
            tmp = NULL;
        }
    }
}
int main(int argc, const char** argv)
{
    Graph g;
    CreateGraph(g);
    PrintAdjList(g);
    TopSort(g);
    DeleteGraph(g);

    return 0;
}

 执行结果：

 

     从上面的代码能发现FindZeroIndegree的时间复杂度为O(|V|),TopSort的时间复杂度为O(|V|2)

     原因在于，每次删除顶点，仅仅有邻接点须要调整入度，但FindZeroIndegree却是遍历了全部顶点，甚至已经删除的顶点。

     更为合理的方法是将每次遍历得出的入度为0的顶点放入一个队列。

void TopSort2(Graph& g)
{
    queue<VertexNode> q;
    for (int i=0; i<g.vertexNum; i++)
    {
        if (g.VertexNode[i].indegree == 0)
            q.push(g.VertexNode[i]);
    }
    int count = 0;
    cout << "The topsort is:" <<endl;
    while (!q.empty())
    {
        VertexNode v = q.front();
        q.pop();
        cout<< v.data << " ";
        count++;
        adjVertexNode* padjv = v.list;
        while (padjv!=NULL)
        {//！！这个算法这里破坏了原图中的入度信息。最后入度均为1
            if (--(g.VertexNode[padjv->adjVertexPosition].indegree)==0)
                q.push(g.VertexNode[padjv->adjVertexPosition]);
            padjv = padjv->next;
        }
    }
    if (count != g.vertexNum)
        cout << "The graph has cycle, can not do topsort"<<endl;
}

     内部的while循环最多运行|E|次，即每条边运行一次。队列对每一个顶点最多运行一次操作，所以新算法的时间复杂度为O(|E|+|V|). 优于O（|V|2）由于拓扑图边数最多有n(n-1)/2，即O（|E|+|V|）<=O(|V|2)