数据结构-图的基本知识和表示

　　图是一种基本的非线性数据结构，其相关基本概念介绍太多了，这里就不再重复说了。为了让自己能够复习的印象深刻一些，今天专门总结一些图的基本知识。

一、基本的知识点

　　图包含两个核心要素：顶点和边，一个图可以没有边，但不能没有顶点。

　　图分可以分为无向图和有向图，有向图就是在这个图中每一条边都有一个方向，表示从一条边出发到另一条边结束。而无向图的边则没有方向。

　　图的顶点存在“度”这个概念，对于无向图而言，顶点的度即是这个顶点连接的边的条数就是当前顶点的"度"；对于有向图而言，顶点的度又分为出度和入度，出度就是从当前顶点出发的边的条数，入度就是以当前顶点为结尾的边的条数。

　　平行边：两个顶点之间可通过两条或者多条边相连，这些边称之为平行边。

　　环：一条将顶点连接到它自身的边。

　　简单图：无环、无平行边。

　　连通图：图中任意两个顶点之间皆存在路径。

　　对于一个图G，它的子图的顶点集合是G中顶点的子集，子图的边的集合也是G中边的子集。

　　对于无向连通图：

　　　　回路：始于一个顶点，终于同一个顶点的封闭路径。

　　　　无回路的连通图是一棵树。

　　　　连通图的生成树：它是图的一个子图，包含了原图的所有顶点，但是包含了保持连通的最少边数。

二、图的表示

　　表示图就是在程序中存储它的顶点和边，一般使用数组或者线性表存储图的数据结构。

　　1、表示顶点

　　顶点可以存储在数组或者线性表中，其中顶点可以是任意类型的对象，也可以是基本数据类型。

　　2、表示边

　　边的表示方法有很多，可以是边数组、边对象、邻接矩阵、邻接线性表等。

　　（1）边数组

　　　　就是一个二维数组，第一维的大小是图中边的总数，第二位的大小是2，即边的两个顶点。数组是int型的，存储的边的两个顶点就是顶点数组中对应这两个顶点的索引。

　　（2）边对象

　　　　定义一个边对象，包含两个成员变量u、v,表示边的两个顶点，然后重写equals方法，用于判断两个边对象是否相同。

public class Edge {
    int u;
    int v;

    @Override
    public boolean equals(Object obj) {
        return (u == ((Edge)obj).u) && (v == ((Edge)obj).v);
    }

    public int getU() {
        return u;
    }

    public void setU(int u) {
        this.u = u;
    }

    public int getV() {
        return v;
    }

    public void setV(int v) {
        this.v = v;
    }
}

　　（3）邻接矩阵

　　　　邻接矩阵也是一个二维数组，但是不同于边数组的是，它的大小是n*n，n是顶点个数，即如果顶点i到顶点j之间有边，那么array[i][j]=1,否则等于0。对于无向图而言邻接矩阵是对称的,所以为了节省空间，可以采用锯齿矩阵进行存储。对于有向图，因为边是有方向的，所以不存在对称这一概念。

　　（4）邻接线性表

　　　　邻接线性表分为邻接顶点线性表和邻接边线性表。邻接顶点线性表包含了与一个顶点相连的所有顶点。邻接边线性表包含了与一个顶点相连的所有的边。邻接线性表具体的数据结构是，有一个大小为n的线性表数组，这个线性表数组的每一个元素也是一个线性表。

　　　　邻接顶点线性表可以定义为：

ArrayList<ArrayList<Integer>> neighbor = new ArrayList<>();

　　　　邻接边线性表可以定义为:

 ArrayList<ArrayList<Edge>> neighbor = new ArrayList<>();

 　　　   构建一个邻接边线性表：

neighbor.add(new ArrayList<Edge>());
neighbor.get(0).add(new Edge(0,1));
neighbor.get(0).add(new Edge(0,3));
neighbor.get(0).add(new Edge(0,5));
        
neighbor.add(new ArrayList<Edge>());
neighbor.get(1).add(new Edge(1,0));

    ……

　　邻接矩阵和邻接线性表都可以表示一个图，但是二者在不同的应用场景下有不同的优点。如果图比较稠密，即含有的边比较多，那么采用邻接矩阵会更好一些，这样的查询效率高，只需常数时间复杂度就可以查询两个点之间是否存在边，并且存储带权重的边也非常方便，但是如果图很稀疏，那么使用邻接矩阵就会很不划算，浪费很多空间，这时使用邻接线性表会更好，能够有效地节省空间。