LeetCode: Gas Station

Title:

There are N gas stations along a circular route, where the amount of gas at station i is gas[i].

You have a car with an unlimited gas tank and it costs cost[i] of gas to travel from station i to its next station (i+1). You begin the journey with an empty tank at one of the gas stations.

Return the starting gas station's index if you can travel around the circuit once, otherwise return -1.

Note:
The solution is guaranteed to be unique.

思路（1）：直接对每个点判断O(n^2)

class Solution {
public:
   int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) 
    {
        for (int i = 0; i < cost.size(); )
        {
            int leftGas = 0;
            int j;
            for (j = 0; j < cost.size(); j++)
            {
                int k = (i+j)%cost.size();
                leftGas += (gas[k] - cost[k]);
                if (leftGas < 0) break;
            }
            if ( j == cost.size()) return i;
            i+=j+1;
        }
        return -1;
    }
};

思路（2）：

这道题最直观的思路，是逐个尝试每一个站点，从站 i 点出发，看看是否能走完全程。如果不行，就接着试着从站点 i+1出发。

假设从站点 i 出发，到达站点 k 之前，依然能保证油箱里油没见底儿，从k 出发后，见底儿了。那么就说明 diff[i] + diff[i+1] + ... + diff[k] < 0，而除掉diff[k]以外，从diff[i]开始的累加都是 >= 0的。也就是说diff[i] 也是 >= 0的，这个时候我们还有必要从站点 i + 1 尝试吗？仔细一想就知道：车要是从站点 i+1出发，到达站点k后，甚至还没到站点k，油箱就见底儿了，因为少加了站点 i 的油。。。

因此，当我们发现到达k 站点邮箱见底儿后，i 到 k 这些站点都不用作为出发点来试验了，肯定不满足条件，只需要从k+1站点尝试即可！因此解法时间复杂度从O(n²)降到了 O(2n)。之所以是O(2n)，是因为将k+1站作为始发站，车得绕圈开回k，来验证k+1是否满足。

等等，真的需要这样吗？

我们模拟一下过程：

a. 最开始，站点0是始发站，假设车开出站点p后，油箱空了，假设sum1 = diff[0] +diff[1] + ... + diff[p]，可知sum1 < 0；

b. 根据上面的论述，我们将p+1作为始发站，开出q站后，油箱又空了，设sum2 = diff[p+1] +diff[p+2] + ... + diff[q]，可知sum2 < 0。

c. 将q+1作为始发站，假设一直开到了未循环的最末站，油箱没见底儿，设sum3 = diff[q+1] +diff[q+2] + ... + diff[size-1]，可知sum3 >= 0。

要想知道车能否开回 q 站，其实就是在sum3 的基础上，依次加上 diff[0] 到 diff[q]，看看sum3在这个过程中是否会小于0。但是我们之前已经知道 diff[0] 到 diff[p-1] 这段路，油箱能一直保持非负，因此我们只要算算sum3 + sum1是否 <0，就知道能不能开到 p+1站了。如果能从p+1站开出，只要算算sum3 + sum1 + sum2 是否 < 0，就知都能不能开回q站了。

因为 sum1, sum2 都 < 0，因此如果 sum3 + sum1 + sum2 >=0 那么 sum3 + sum1 必然 >= 0，也就是说，只要sum3 + sum1 + sum2 >=0，车必然能开回q站。而sum3 + sum1 + sum2 其实就是 diff数组的总和 Total，遍历完所有元素已经算出来了。因此 Total 能否 >= 0，就是是否存在这样的站点的 充分必要条件。

这样时间复杂度进一步从O(2n)降到了 O(n)。

class Solution {
public:
   int canCompleteCircuit(vector<int> &gas, vector<int> &cost) 
    {
        int total = 0;
        int sum = 0;
        int index = 0;
        for (int i = 0; i < cost.size(); i++){
            int diff = gas[i]-cost[i];
            sum += diff;
            total += diff;
            if (sum < 0){
                sum = 0;
                index = i + 1;
            }
        }
        if (total < 0)
            return -1;
        else
            return index;
    }
};