BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法[欧拉降幂]

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天，上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天，上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天，上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天，上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意：

Input

接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值

Output

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

Sample Input

3
2
3
6

Sample Output

0
1
4

HINT

对于100%的数据，T<=1000,p<=10^7

传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

思路：
$b \geq φ (p)$ $ {b> varphi (p)} $时，有$ a^{b} equiv a^{b mod varphi (p)} mod p $

于是我们可以设$ f(p)=2^{2^{2^{...}}}mod p $，那么有$ f(1)=0 $

所以$ f(p)=2^{2^{2^{...}}}mod p =2^{2^{2^{...}} mod varphi (p) + p}mod p= 2^{f(varphi (p))+p}mod p $

接下来就把欧拉定理和快速幂的板子套上就可以了

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 typedef long long ll;
 6 
 7 ll phi(ll n)
 8 {
 9     ll ans = n;
10 
11     for(ll i = 2; i * i <= n; i++)
12 
13     {
14         if(n % i == 0)
15         {
16             ans = ans / i * (i - 1);
17             while(n % i == 0)
18                 n /= i;
19         }
20     }
21     if(n > 1)
22         ans = ans / n * (n - 1);
23     return ans;
24 }
25 ll ksm(ll a, ll b, ll p)
26 
27 {
28     ll ans = 1;
29     while(b)
30 
31     {
32         if(b & 1)
33             ans = (ans * a) % p;
34         a = (a * a) % p;
35         b >>= 1;
36     }
37     return ans;
38 }
39 ll f(ll x)
40 {
41     if(x == 1)
42         return 0;
43 
44     ll p = phi(x);
45 
46     return ksm(2, f(p) + p, x);
47 }
48 int main()
49 
50 {
51     int t;
52     scanf("%d", &t);
53     while(t--)
54     {
55         ll n;
56         scanf("%lld", &n);
57         printf("%lld
", f(n) );
58     }
59 }