题目传送门
Subtask 1
直接模拟。
Subtask 2
BSGS算法模板。
Subtask 3
考虑模 $m$ 的任意一个原根 $g$。
假设 $g^{ra} equiv x pmod {m}, g^{rb} equiv y pmod{m}$ 。
那么原题的方程等价于方程 $a cdot ra equiv rb pmod {varphi(m)}$。
它等价于 $x cdot ra - ycdot varphi(m) = rb$。
设 $d = varphi(m)$。
它存在满足条件的解当且仅当 $(ra, d) mid rb$。
这个条件仍然不好处理,因为我们难以求出 $rb$。
考虑这样一个条件 $(ra, d) mid (rb, d)$。
我们来证明,满足 $(ra, d) mid rb$ 当且仅当 $(ra, d) mid (rb, d)$。
充分性显然。
考虑必要性,因为 $((ra,d), (rb,d)) = (ra, rb, d) = ((ra, d) , rb) = (ra, d)$。
所以有 $(ra, d) mid (rb, d)$。
现在的问题是如何求 $(ra, d)$。
引理 设 $g$ 为模 $m$ 意义下的一个原根 ,如果 $g^{ra} equiv a pmod {m}$,设 $delta_m(a) = d$ ,那么有 $(ra, varphi(m)) d = varphi(m)$.
证明 因为有 $left( g^{ra} ight)^d equiv 1pmod{m}$,所以 $varphi(m) | ra cdot d$。
那么有 $ra cdot d equiv 0 pmod {varphi(m)}$.
所以有 $d equiv 0 pmod{frac{varphi(m)}{(varphi(m), ra)}}$.
因为 $d$ 是满足条件的最小正整数,所以有 $d = frac{varphi(m)}{(varphi(m), ra)}$。
所以 $(varphi(m), ra) d = varphi(m)$。
因此我们把问题转化为求阶。
众所周知,阶是 $varphi(m)$ 的约数,所以我们暴力枚举所有因子能通过这个subtask。
Subtask 4
因为 $p$ 随机,所以期望的因子个数只有几千,做法同 Subtask 3。
Subtask 5
骗暴力选手去卡常。
Subtask 6
我们考虑优化求阶的做法。
引理 设 $d = delta_m(x)$,如果 $d_0$ 满足 $x^{d_0} equiv 1pmod {m}$,那么有 $d | d_0$。
证明 设 $d_0 = qd + r (0 < r < d)$。那么有 $x^{qd + r} equiv (x^{d})^q x^r equiv x^r equiv 1pmod{m}$。因为 $d$ 是最小的正整数满足 $x^{d} equiv 1 pmod {m}$,但 $r$ 是更小的满足条件的正整数,这和阶的定义矛盾。
初始令 $d =varphi(m)$。根据欧拉定理,我们知道一定有 $x^{d} equiv 1 pmod{m}$。设 $d = kdelta_m(x)$
考虑枚举任意一个 $varphi(m)$ 的质因子 $p$,如果满足 $p mid d$,并且 $x^{d / p} equiv 1 pmod {m}$。 那么有 $p mid k$,我们令 $d' = d / p$ 继续执行这个过程,直到不存在满足条件的 $p$。
由于乘法取模我们可以使用 __int128 ,所以时间复杂度 $O(T log^2 V + n^{1/4})$。
如果同时求 $(ra, varphi(m)), (rb, varphi(m))$ 可能会被卡常。
Subtask 7
我们注意到,我们没有必要求 $(rb, varphi(m))$。
设 $d = varphi(m)$。
$(ra, d) | (rb, d) $ 等价于 $frac{d}{(rb, d)}| frac{d}{(ra, d)}$。
因此我们只用判断 $b^{e}$ 模 $m$ 的余数是否为1就行了。
其中 $e$ 是最小的正整数满足 $a^e equiv 1 pmod{m}$,即 $a$ 模 $m$ 的阶。
吐槽
- 不知道为什么很多人觉得 $(ra, d) mid rb$ 当且仅当 $(ra, d) mid (rb, d)$ 非常地显然,可能是我数学比较菜,觉得不是那么显然,需要说明一下。
- 成功区分了会求阶和不会求阶的选手
- 开始想卡掉求 2 次阶的做法,因为 F 很难,为了降低比赛难度,所以被要求这里不卡常,不过好像卡不卡区分度都是一样的。
- 事后发现,二进制分组和 long double 快速乘均可以轻松跑进两倍标程序时限内,感觉我对卡常一无所知,我似乎还忘了卡 long double 快速乘。(虽然我并不知道能个不能卡)。两倍常数还想卡?
- 洛谷怎么最大只支持 100 组数据
Code
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef bool boolean; #define ll long long #define ull unsigned long long template <typename T> T add(T a, T b, T m) { return ((a += b) >= m) ? (a - m) : (a); } template <typename T> void pcopy(T* pst, const T* ped, T* pval) { for ( ; pst != ped; *(pst++) = *(pval++)); } ll mul(ll a, ll b, ll m) { return ((__int128)a) * b % m; /* ll rt = 0, pa = a; for ( ; b; b >>= 1, pa = add(pa, pa, m)) if (b & 1) rt = add(rt, pa, m); return rt; */ } ll qpow(ll a, ll p, ll m) { ll rt = 1, pa = a; for ( ; p; p >>= 1, pa = mul(pa, pa, m)) if (p & 1) rt = mul(rt, pa, m); return rt; } ll gcd(ll a, ll b) { return (b) ? (gcd(b, a % b)) : (a); } ll randLL() { static ull seed = 998244353, msk = (1ull << 61) - 1; return (signed ll) ((seed = seed * seed + seed * 3 + 233) & msk); } boolean miller_rabin(ll n) { static int T = 25; static const int pri[10] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}; if (!(n & 1)) return n == 2; if (n < 1000) { for (int p = 2; p * p <= n; p++) if (!(n % p)) return false; return true; } for (int i = 0; i < 10; i++) { if (n == pri[i]) { return true; } else if (!(n % pri[i])) { return false; } } ll d = n - 1; int s = 0; while (!(d & 1)) s++, d >>= 1; for (int t = 0; t < T; t++) { ll b = randLL() % n; if (!b) continue; ll tmp = qpow(b, d, n); if (tmp == 1 || tmp == n - 1) continue; for (int i = 0; i < s; i++) { tmp = mul(tmp, tmp, n); if (tmp == n - 1) goto nextTurn; if (tmp == 1 || tmp == 0) return false; } if (tmp != 1) return false; nextTurn:; } return true; } ll pollard_rho(ll x) { // cerr << x << ' '; ll a, b, c, g; if (!(x & 1)) return 2; while (true) { b = a = randLL() % x; c = randLL() % 127 % x; do { a = add(mul(a, a, x), c, x); b = add(mul(b, b, x), c, x); b = add(mul(b, b, x), c, x); g = gcd(b - a, x); (g < 0) ? (g = -g) : (0); if (g == x) break; if (g > 1) return g; } while (a != b); } assert(false); return 0; } void get_primary_factors(ll x, vector<ll>& rt) { if (x == 1) { return; } if (miller_rabin(x)) { rt.push_back(x); return; } ll a = pollard_rho(x); get_primary_factors(a, rt); get_primary_factors(x / a, rt); } vector< pair<ll, int> > get_primary_factor(vector<ll>& vec) { vector< pair<ll, int> > rt; if (vec.empty()) return rt; sort(vec.begin(), vec.end()); vector<ll>::iterator it = vec.begin(); rt.push_back(make_pair(*it, 1)); for (it = it + 1 ; it != vec.end(); it++) if (*it == rt.back().first) rt.back().second++; else rt.push_back(make_pair(*it, 1)); return rt; } /// Template ends typedef vector<pair<ll, int>> factor; factor get_factor(ll m) { vector<ll> tmp; get_primary_factors(m, tmp); return get_primary_factor(tmp); } int T; ll m, phim; factor fac; int main() { scanf("%lld%d", &m, &T); fac = get_factor(m); fac = get_factor(phim = m / fac[0].first * (fac[0].first - 1)); ll a, b, d; while (T--) { scanf("%lld%lld", &a, &b); d = phim; for (auto par : fac) { while (!(d % par.first) && qpow(a, d / par.first, m) == 1) d /= par.first; } if (qpow(b, d, m) == 1) { puts("Yes"); } else { puts("No"); } } return 0; }