[noip模拟题]排队

【问题描述】

      小sin所在的班有n名同学，正准备排成一列纵队，但他们不想按身高从矮到高排，那样太单调，太没个性。他们希望恰好有k对同学是高的在前，矮的在后，其余都是矮的在前，高的在后。如当n=5，k=3时，假设5人从矮到高分别标为1、2、3、4、5，则（1,5,2,3,4）、（2,3,1,5,4）、（3,1,4,2,5）都是可行的排法。小sin想知道总共有多少种可行排法。

【输入】

      输入文件名为lineup.in。

      一行两个整数n和k，意义见问题描述。

【输出】

      输出文件名为lineup.out。

      输出一个整数，表示可行排法数。由于结果可能很大，请输出排法数mod 1799999的值。

【输入输出样例】

lineup.in	lineup.out
5 3	15

【数据范围】

      对于20%的数据，有n≤10，k≤40；

      对于60%的数据，有n≤100，k≤500；

      对于100%的数据，有n≤100，k≤n*(n-1)/2。

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　　这道题并不是特别地难，其实只需要这样分析，假设把第i个同学加入前面（i-1）个同学组成的有j‘组逆序对的队列中（假设加入的同学的大小从低到高）

，这时i同学插在最后面不会增加逆序对的个数，但是插在第k（从后往前数）位同学前面会增加k个逆序对（第i个同学身高最高），如下：

　　原队列：　　1　　4　　2　　3

　　将第5个同学插入第2（k = 3）位同学前：　1　　5　　4　　2　　3

　　上面褐色就是和这个数产生的逆序对的个数。

那么达到一个状态（i,j）就是第（i- 1）个人组成的队列所有能够通过插入第i个同学得到的j个逆序对

　　这么说也存在不可能的时候

　　比如原队列:　　1　　2　　3

　　插入进去后要使逆序对的数量增加到4个，要使增加的逆序对的个数最大，即将第4位同学增加到队首，增加3个逆序对，0 + 3 < 4

所以这种情况是不可能的

　　于是还要满足这个条件(假设之前这个逆序对的个数为k)　　k + i - 1 > j

　　得到了这个递推式（f的初值为0）(如果下表为负也不用管）

f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1] +...+ f[i - 1][j - i + 1]

　　貌似这样的时间复杂度是O（kn²)对于100这样的范围还是可以过的

　　不过明明是可以再继续优化，就只用个前缀和就可以轻松代替第三重循环，也可以化简一下上面的递推式

，总之有很多方法可以消去第三重循环

Code

#include<iostream>
#include<fstream>
#define moder 1799999
using namespace std;
ifstream fin("lineup.in");
ofstream fout("lineup.out");
int f[101][5051];
long long s[101][5051];
int n,k;
int buf;
void init_dp(){
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        f[i][0] = 1;
        s[i][0] = 1;
    }
}
void dp(){
    f[2][1] = 1;
    s[2][1] = s[2][0] + 1;
    for(int i = 3;i <= n;i++){
        buf = (i - 1)*(i - 2)/2;
        for(int j = 1;j < i ;j++){
            f[i][j] = s[i - 1][min(j,buf)];
            s[i][j] = (s[i][j - 1] + f[i][j]) % moder;
        }
        for(int j = i ;j <=i*(i - 1)/2;j++){
            f[i][j] = (s[i - 1][min(buf,j)] - s[i - 1][j - i] + moder) % moder;
            s[i][j] = (s[i][j - 1] + f[i][j]) % moder;
        }
    }
}
int main(){
    fin>>n>>k;
    init_dp();
    dp();
    fout<<f[n][k];
    return 0;
}