组合数的定义:C(n,m)=n!/( (n-m)!*m! )
计算组合数主要头疼的是溢出,long long 类型的数字算C(82,41)已经不行了。。。
一、普通算法
由于溢出问题严重,所以算出三个阶乘再做除法的话,中间结果会溢出。
首先做个小优化,利用 C(n,m) = C(n,n-m) ,如果m超过n的一半就让 m = n-m。
这样处理之后,m一定是小于等于n-m的
对于:1,2,3,…,m,m+1,…,n-m,…,n
公式中 n! , (n-m)!, m!肯定有重叠的部分,所以把n!和(n-m)!中重叠部分消去,直接算(n-m+1)*(n-m+2)*…*n / m!(红色部分的连乘)就好,这样时间复杂度是O( m ),已经和n没有关系了,而且就算要计算 C(10000,3)也可以,因为中间结果最大是1000*999*998。
还有个小优化,为了防止溢出,一边计算 (n-m+1)*(n-m+2)*…*n ,一边除掉1,2,3,...,m中能除的数(下面的算法是按顺序除的)
#include"stdio.h" __int64 cnm(__int64 n,__int64 m) { __int64 sum; __int64 k,i; k=sum=1; for(i=n-m+1;i<=n;i++) { sum*=i; while(k<=m&&sum%k==0) { sum/=k; k++; } } return sum; } int main() { __int64 ans; __int64 n,m; scanf("%I64d%I64d",&n,&m); ans=cnm(n,m); printf("%I64d\n",ans); return 0; }
二、对数算法
为了避免直接计算n的阶乘,对公式两边取对数,于是得到:ln(C(n,m)) = ln(n!) - ln(m!) - ln( (n-m)! )
对数有性质:ln(x*y) = ln(x) + ln(y),因此转化成:
同理消去重叠的部分,就变成了
因此这个算法时间复杂度仍然是 O( m ),虽然浮点计算比整数计算要慢,但解决了整数计算的溢出问题。
double cnm_lg(int n,int m) { int i; double s1=0.0,s2=0.0; for(i=1;i<=m;i++) s1 += log(i); for(i=n-m+1;i<=n;i++) s2 += log(i); return s2-s1; } double cnm_double(int n,int m) { if(m > n/2) m = n-m; return exp(cnm_lg(n,m)); }
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