NOIP 赛前模拟记录

8.11

T1 给定一个序列M，求出能过构造出的序列使得(Si+Si+1)/2=Mi成立的序列个数.保证M，S递增。

T2 平面点集中最大的四边形面积

T3 不太懂得一道国家队选拔的加强版。

90+20+10=120 三题暴力

T1写了一个非常不正确的O(n)结果拿了90,T2只想到了n^3的做法，T3暴力

Sol:

T1显然知道S中的一个数就可以知道所有的S，每个S都可以由S1和Mi来表示，那么由于S是递增的就可以列出一些很有规律的不等式，解不等式即可。

不正确的做法就是对于每三个M的差，两边的和-中间的最小值。

T2四边形肯定会有一条的对角线那么枚举对角线，在枚举对角线的两端就能做到O(n^3)

会发现答案的四边形显然会在凸包上，那么离对角线最远的点总是单调的。

T3看了不会

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
inline void Get_Int(LL &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
inline LL Min(LL x,LL y) {return x>y?y:x;}
inline LL Max(LL x,LL y) {return x>y?x:y;}
//========================
const LL Maxn=5001000;
const LL Inf=(LL)1<<60;
LL M[Maxn],Ans,n;
int main()
{
    Get_Int(n);
    for (LL i=1;i<=n;i++) Get_Int(M[i]);
    LL Ret=M[1],L=-Inf,R=M[1];
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        if (i&1) Ret=Ret+M[i]-M[i+1]; 
        else Ret=M[i+1]-M[i]+Ret;
        if (i&1) L=Max(L,Ret);
        else R=Min(R,Ret);
    }
    if (L>R) puts("0"); else printf("%d
",R-L+1);
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int Maxn=5010;
const double eps=1e-8;
struct Node 
{
    double x,y;
    Node (double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
};
inline Node operator - (Node P,Node Q) {return Node(P.x-Q.x,P.y-Q.y);} 
inline double Cross(Node P,Node Q) {return P.x*Q.y-P.y*Q.x;}
inline double Area(Node A,Node B,Node C) {return Cross(B-A,C-A);}
inline int dcmp(double x) {if (fabs(x)<eps) return 0; return x>0?1:-1;}
inline double Dis(Node O) {return sqrt(O.x*O.x+O.y*O.y);}
inline double Max(double x,double y) {return x>y?x:y;}
inline void Swap(Node &X,Node &Y) {Node T=X;X=Y;Y=T;}
//====================================
int n,Top;
double Ans;
Node P[Maxn],V[Maxn];
inline bool cmp(Node A,Node B) 
{
    if (dcmp(Area(P[1],A,B))==0) return Dis(A-P[1])<Dis(B-P[1]);
    return Area(P[1],A,B)>0;
}
inline void Graham()
{
    int k=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        if (P[i].y<P[k].y || (dcmp(P[i].y-P[k].y)==0 && P[i].x<P[k].x)) k=i;
    Swap(P[1],P[k]);
    sort(P+2,P+n+1,cmp);
    V[1]=P[1],V[2]=P[2]; Top=2;
    for (int i=3;i<=n;i++)
    {
        while (Top>=2 && Area(V[Top-1],V[Top],P[i])<=0) Top--;
        V[++Top]=P[i];
    }
}
inline void Work()
{
    V[Top+1]=V[1]; Ans=0;
    for (int X=1;X<=Top;X++)
    {
        int u=X%Top+1,v=(X+2)%Top+1;
        for (int Y=X+2;Y<=Top;Y++)
        {
            while (u%Top+1!=Y && fabs(Area(V[X],V[Y],V[u+1]))>fabs(Area(V[X],V[Y],V[u]))) u=u%Top+1;
            while (v%Top+1!=X && fabs(Area(V[X],V[Y],V[v+1]))>fabs(Area(V[X],V[Y],V[v]))) v=v%Top+1;
            Ans=Max(Ans,fabs(Area(V[u],V[X],V[Y]))+fabs(Area(V[v],V[X],V[Y])));
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
    Graham();
    Work();
    printf("%.3lf
",Ans/2.0);
    return 0;
}

8.12 啊被虐爆了..

T1 有 M 个序列，要在每个序列里选一个元素出来，求元素总和第 K 小的值。 

T2 平面上有n个凸包求两点间的最短路，不能穿过凸包。

T3 看不懂..

50+0+0=50

T1 一眼转化为第K短路模型然后50MLE了(循环队列的话应该没问题)，T2 计算几何+Dij貌似出了点偏差，而且我在判断两条直线关系的时候居然是求出交点然后判断！（mdzz）

Sol:

T1 实际上非常暴力，把小根堆弹K次就行了，然后把当前的堆其中的一个序列把原来的删去，加入比他大的后一个。需要注意的是每次把所有的序列往后会有重复，所以要记录一个i，表示前1~i-1的都不能变化了

T2 M^3暴力枚举每个点判一下是否会相交即可,感觉类似于VIJOS中的有一道叫做围墙的题.

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define PA pair<int,pair<int,vector<int> > >
 
using namespace std;
inline void Get_Int(int &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
priority_queue<PA,vector<PA>,greater<PA> > Q;
int m,k,a[12][500000];
vector<int> V;
int main()
{
    Get_Int(m),Get_Int(k);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        Get_Int(a[i][0]);
        for (int j=1;j<=a[i][0];j++) Get_Int(a[i][j]);
        sort(a[i]+1,a[i]+a[i][0]+1); 
    }
    int Ret=0; for (int i=1;i<=m;i++) Ret+=a[i][1];
    V.clear(); V.pb(0); for (int i=1;i<=m;i++) V.pb(1);
    Q.push(mp(Ret,mp(1,V)));
    for (int i=1;i<k;i++)
    {
        PA U=Q.top(); Q.pop();
        for (int j=U.se.fi;j<=m;j++)
        {
            U.se.se[j]++;
            Q.push(mp(U.fi+a[j][U.se.se[j]]-a[j][U.se.se[j]-1],mp(j,U.se.se)));
            U.se.se[j]--;
        }
    }
    printf("%d
",Q.top().fi);
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pa pair<int,int>
#define PA pair<double,int>
using namespace std;
inline void Get_Int(int &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
const int Maxn=310;
const double eps=1e-6;
int Begin[Maxn],End[Maxn],num[Maxn],tot,n,S,T;
double f[Maxn][Maxn],dis[Maxn];
bool vis[Maxn];
vector<pa> Line;
struct Vector
{
    double x,y;
    Vector(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
}P[Maxn];
inline Vector operator - (Vector A,Vector B) {return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}
inline double Cross(Vector A,Vector B) {return A.x*B.y-A.y*B.x;}
inline double Area(Vector A,Vector B,Vector C) {return Cross(B-A,C-A);}
inline double Dis(Vector A) {return sqrt(A.x*A.x+A.y*A.y);}
inline int dcmp(double x) {if (fabs(x)<eps) return 0; return x>0?1:-1;}
inline bool Pan(int u,int v,int p,int q)
{
    int s=Area(P[u],P[p],P[q]);
    int t=Area(P[v],P[p],P[q]);
    if (dcmp(s)*dcmp(t)==-1) return true;
    return false;
}
inline bool Pan2(int u,int v,int p,int q)
{
    int s=Area(P[u],P[p],P[q]);
    int t=Area(P[v],P[p],P[q]);
    if (dcmp(s)*dcmp(t)==0) return true;
    return false;
}
inline bool Check(int u,int v)
{
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int Cnt=0;
        for (int j=Begin[i];j<=End[i];j++)
        {
            if (Pan(u,v,Line[j].fi,Line[j].se) && Pan(Line[j].fi,Line[j].se,u,v)) return false;
            if (Pan2(u,v,Line[j].fi,Line[j].se) || Pan2(Line[j].fi,Line[j].se,u,v)) Cnt++;
        }
        if (Cnt>=4) return false;
    }
    return true;
}
priority_queue<PA,vector<PA>,greater<PA> > Q;
void Dij()
{
    for (int i=1;i<=tot;i++) dis[i]=10000000.0;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    dis[S]=0;
    Q.push(mp(0.0,S));
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.top().se; Q.pop();
        if (vis[u]) continue; vis[u]=true;
        for (int i=1;i<=tot;i++)
            if (u!=i && f[u][i]!=-1 && dis[i]>dis[u]+f[u][i])
            {
                dis[i]=dis[u]+f[u][i];
                Q.push(mp(dis[i],i));
            }
    }
}
int main()
{
 
    Get_Int(n);
    Line.pb(mp(0,0));
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        Get_Int(num[i]); Begin[i]=tot+1;
        for (int j=1;j<=num[i];j++)
        {
            tot++; scanf("%lf%lf",&P[tot].x,&P[tot].y);
            if (j!=1) Line.pb(mp(tot,tot-1));
        }
        Line.pb(mp(tot,tot-num[i]+1)); End[i]=tot;
    }
    Get_Int(S),Get_Int(T);
    for (int i=1;i<=tot;i++)
        for (int j=1;j<=tot;j++)
        {
            if (i==j) {f[i][j]=0.0; continue;}
            if (Check(i,j)) f[i][j]=Dis(P[i]-P[j]); else f[i][j]=-1;
        }
    Dij();
    printf("%.4lf
",dis[T]);
    return 0;
}

8.13

T1 定义两个函数f，g，并求出g(n)的值：f(n)为所有小于n的与n互质的数之和，g(n)为所有所有n的约数的f的和..

T2 DP 难以描述

T3 MST难以描述

30+50+30=110 三题暴力

T1

30：暴力枚举

60：然后会发现f其实可以用容斥算出来即，比如算f(60)，先 O(sqrt(N))的时间，找出60的质因子有哪些。得到它的质因子2，3，5后，f(60) = 所有数的和-2的倍数的和-3的倍数的和-5的倍数的和+6(2*3)的倍数的和+10(2*5)的倍数的和+15(3*5)的倍数的和-30(2*3*5) 的倍数的和（当然这里的数都限定在60以内）。

100：有个规律及f(n)=n*φ(n)/2，Prove:(加入a与n互素呢么n-a与n也互素，反之则不互素，那么(a,n-a)的和刚好为n,而却总共有φ(n)/2对)；

g(n)=∑x*φ(x)/2,因为φ具有积性可以把它分解为每个质因数的乘积即可.

T2  DP +然后用数据结构维护即可

T3 

30：暴力重建MST

60：会发现重边非常多，那么对于每条重边建个卡壳就可以了。

100：奥妙重重的做法

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long
using namespace std;

inline void Get_Int(LL &x)
{
    x=0; char ch=getchar();
    while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
//==============================
LL Kase,n,Ans;
inline LL Calc(LL a,LL b)
{
    LL q=a*a,fr=q-a,r=1;
    for (LL i=1;i<=b;i++) r+=fr,fr*=q;
    return r;
}
int main()
{
    freopen("shobera.in","r",stdin);
    freopen("shobera.out","w",stdout);
    Get_Int(Kase);
    for (LL kase=1;kase<=Kase;kase++)
    {
        Get_Int(n); LL t=n; Ans=1;
        for (LL i=2;i*i<=n;i++)
            if (t%i==0)
            {
                LL Ret=0;
                for (;t%i==0;t/=i) Ret++;
                Ans*=Calc(i,Ret);
            }
        if (t>1) Ans*=Calc(t,1);
        printf("%lld
",(Ans+1)>>1);
    }
    return 0;
}

8.15

T1 难以表述的DP

T2 求序列第K大

T3 求分数在K进制下的有循环节长度

Sol ：

T

8.17 

T1 输出一定长度的升子序列 

T2 数据结构，在线修改一段区间的颜色为一种颜色，询问某段区间的某个颜色个数

T3 使得a[i]>b[j]的对数

10+60+60

T1 就nlogn的发现要按照字典序输出，WA 10

T2 线段树暴力可以做到60，再大开不下了

T3 一眼网络流..mdzz 60

Sol :

T1 ：那么如BZOJ1046中但是BZOJ1046中的位置，而这道题中的是权值，离散化一下就可以了。

T2 ：可以有分块以时间换空间

T3 ：水题贪心，拍完须后，同BZOJ1707