最坏情况为线性时间的选择算法

求给定输入中第k大的数的算法。

这是一个常见面试题，通常的解法也很明显，使用类似快排的思想。

每趟运行，把数组的值分成两部分，一部分比pivot大，一部分比pivot小，因为我们知道pivot在数组中的位置，所以比较k和pivot的位置就知道第k大的值在哪个范围，我们不断的进行recursion, 直到pivot就是第k大的值。

这个算法的时间预期是O(n)。这里需要注意的是讲的仅限于它的预期，对于这个算法，其在最差情况下，时间复杂度则为n的平法。

参阅快速排序的无敌对手一文，我们是可以构建出一个这样的序列的。最简单的情况，每趟快排的时候我们以第一个为主元，那么对于一个已经排序好的序列，我们要找最大的数，最后的时间花费就退化成了n的平方。

 

《算法导论》9.3章给出了一个最差情况也为线性O(n)的算法。

 Step 1：把数组划分为若干个子数组，每个子数组里包含5个数，因为会有无法整除的可能，所以最后一个子数组会小于5.

Step 2：用插入排序把这5个数排序，然后找出中位数，也就是第3个。

Step 3：把获得的中位数又排序（这个地方错误，不是排序，应该递归调用SELECT），找出中位数的中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定ｘ是较小的中位数）。

Step 4：把原来的数组使用类似快排的方法，分成两个部分。让ｋ比划分的低区中的元素数目多１，因此ｘ是第ｋ小元素，并且有ｎ-ｋ个元素在划分的高区.

Step 5：如果i =ｋ，返回ｘ。如果 i < k， 则在低区递归调用来找出第ｉ小的元素．如果ｉ> ｋ，则在高区递归查找第ｉ- ｋ小的元素．

 

整个过程中，第1,2,4步所需时间为O(n)， 注意第2步的复杂度不为O(n^2)，第3步的复杂度为 T(n/5)，第五步的复杂度为 T(7n/10)。

 

注意这里第2步虽然我们使用的是插入排序，但是待排的序列长度为常数5，所以对一组的排序时间花费为O(1),对于n/5个组,其时间预期是O(n/5),即O(n)。

 

时间预期为：

 

         T(n) <= T( n/5 ) + T(7n/10+6) + O(n)

 

(书中通过数学方法最后推得时间预期是O(n)。因为需要较多的数学准备知识，这里不继续介绍。) 

 

在这章的习题中，基于这个算法，要求证明原先Step 1中划分为每组3个和7个的情况的复杂度。7个的情况证明结果和5是一样的。但是对于3的情况，其结果最后可以证明出复杂度并非O(n)。

 

 

尝试证明关键步骤如下:

 

对于划分为3个元素的情况，可以得到递推式(过程略):

 

         T(n) <= T( n/3 ) + T(2n/3+4) + O(n)

 

假设存在某个适当大的常数c,使得T(n)<=cn(为什么这样可查阅《算法导论》第一章),用an替代O(n)(因为O(n)代表的这部分的时间花费是线性的，那么必然存在一个常数a,使得an为这部分时间花费)用cn代换掉式中的T(n)那么有：

 

T(n)<= c(n/3) + c(2n/3+4) + an <= cn/3 + c + 2cn/3 + 4c + O(n)= cn + 5c + an

 

根据假设，T(n)的最大值是cn,那么又有:

 

         cn + 5c + an <= cn

 

        5c + an <=0

 

显然又 a, n > 0，那么欲使等式成立，必有c<=0。与我们假设的矛盾。所以我们的假设不成立。

 

因此，当我们尝试用3划分的时候，该算法的无法在线性复杂度内运行。 

 

这个算法的实现代码比较复杂。对于每组划分5个元素的情况， 实现代码如下(该代码输出的是第ｉ大的元素，上面的解释是输出第ｉ小的元素)：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define swap(a,b) (a)^=(b);(b)^=(a);(a)^=(b)
#define MAX 1000

void sort(int* input, int size){
    printf ( "sort arry size = %d
", size );
    int i,j;
    for(i = 0; i< size ; i++){
        for(j = 0; j<size-i-1;j++){
            if(input[j]<input[j+1]){
                swap(input[j],input[j+1]);
            } 
        }
    }
}
void output(int * input, int size){
    for(;size>0 && *input;size--,input++){
        printf("%d ", *input);
    }
    printf("
");

}

int partion(int *input, int size, int key){
    printf ( "--------------Step4---------------
" );
    printf("key = %d 
", input[key]);
    int *head, *tail;
    head = input;
    tail = head + size - 1;
    swap(*head, input[key]);

    int *k = head;
    while(head<tail){
        while(*tail && *k >= *tail){
            tail--;
        }
        if(tail<=head) break;
        swap(*k,*tail);
        k = tail;
        while(*head && *k < *head)
            head++;
        if(head>=tail) break;
        swap(*k,*head);
        k = head;
    }
    output(input, size);
    printf ( "--------------Step4 done--------------
" );
    return k-input+1;
}

int kselect(int *input, int size, int k){
    printf ( "start element : %d 
", *input );
    if(size<=5){
        sort(input, size);
        return input[k-1];
    }
    int mid[MAX] = {0};
    int midvalue[MAX] = {0};
    int groups = size/5;
    int i;

    printf ( "-----------------step 1, 2--------------
" );
    for(i = 0; i<groups;i++){
        sort(input+i*5, (i*5+5 > size) ? (size-1):5);
        printf ( "sorted group %d:
", i );
        output(input+i*5, 5);
        mid[i] = i*5 + 2;
        midvalue[i] = input[i*5 + 2];
    }

    printf ( "-----------------step 1, 2 done--------------
" );

    printf ( "---------step3-------------
" );
    sort(midvalue, groups);
    printf ( "---------step3 done-------
" );
    int m = -1;
    for(i = 0; i<5;i++){
        if(input[mid[i]] == midvalue[groups/2]){
            m = partion(input, size, mid[i]);
        }
    }
    if(m == k){
        return input[m-1];
    }
    if(k<m){
        return kselect(input,m,k);
    }
    else{
        return kselect(input+m, size - m, k-m);
    }
    return 0xffff;
}

int main(){
    int input[] = {1,3,2,10,5,11, 12, 8 ,6, 7};
　　　　　/*输出第７大的元素．*/
    int r = kselect(input,sizeof(input)/sizeof(int), 7);
    printf("result %d 
", r);
    return 0;
}

 下面这个算法比较靠谱：

#include <iostream>
#include <time.h>
using namespace std;

const int num_array = 13;
const int num_med_array = num_array / 5 + 1;
int array[num_array];
int midian_array[num_med_array];

//冒泡排序（晚些时候将修正为插入排序）
/*void insert_sort(int array[], int left, int loop_times, int compare_times)
{
    for (int i = 0; i < loop_times; i++)
    {
        for (int j = 0; j < compare_times - i; j++)
        {
            if (array[left + j] > array[left + j + 1])
                swap(array[left + j], array[left + j + 1]);
        }
    }
}*/

/*
//插入排序算法伪代码
INSERTION-SORT(A)                              cost    times
1  for j ← 2 to length[A]                      c1      n
2       do key ← A[j]                          c2      n - 1
3          Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1].     0...n - 1
4          i ← j - 1                           c4      n - 1
5          while i > 0 and A[i] > key           c5      
6             do A[i + 1] ← A[i]               c6      
7             i ← i - 1                        c7      
8          A[i + 1] ← key                      c8      n - 1
*/
//已修正为插入排序，如下：
void insert_sort(int array[], int left, int loop_times)
{
    for (int j = left; j < left+loop_times; j++)
    {
        int key = array[j];
        int i = j-1;
        while ( i>left && array[i]>key )
        {
            array[i+1] = array[i];
            i--;
        }
        array[i+1] = key;
    }
}

int find_median(int array[], int left, int right)
{
    if (left == right)
        return array[left];
    
    int index;
    for (index = left; index < right - 5; index += 5)
    {
        insert_sort(array, index, 4);
        int num = index - left;
        midian_array[num / 5] = array[index + 2];
    }
    
    // 处理剩余元素
    int remain_num = right - index + 1;
    if (remain_num > 0)
    {
        insert_sort(array, index, remain_num - 1);
        int num = index - left;
        midian_array[num / 5] = array[index + remain_num / 2];
    }
    
    int elem_aux_array = (right - left) / 5 - 1;
    if ((right - left) % 5 != 0)
        elem_aux_array++;
    
    // 如果剩余一个元素返回，否则继续递归
    if (elem_aux_array == 0)
        return midian_array[0];
    else
        return find_median(midian_array, 0, elem_aux_array);
}

// 寻找中位数的所在位置
int find_index(int array[], int left, int right, int median)
{
    for (int i = left; i <= right; i++)
    {
        if (array[i] == median)
            return i;
    }
    return -1;
}

int q_select(int array[], int left, int right, int k)
{
    // 寻找中位数的中位数
    int median = find_median(array, left, right);
    
    // 将中位数的中位数与最右元素交换
    int index = find_index(array, left, right, median);
    swap(array[index], array[right]);
    
    int pivot = array[right];
    
    // 申请两个移动指针并初始化
    int i = left; 
    int j = right - 1;  
    
    // 根据枢纽元素的值对数组进行一次划分
    while (true)
    {  
        while(array[i] < pivot)
            i++;
        while(array[j] > pivot)
            j--;
        if (i < j) 
            swap(array[i], array[j]); 
        else   
            break;   
    }
    swap(array[i], array[right]); 
    
    /* 对三种情况进行处理：(m = i - left + 1)
    1、如果m=k，即返回的主元即为我们要找的第k小的元素，那么直接返回主元a[i]即可;
    2、如果m>k，那么接下来要到低区间A[0....m-1]中寻找，丢掉高区间;
    3、如果m<k，那么接下来要到高区间A[m+1...n-1]中寻找，丢掉低区间。
    */
    int m = i - left + 1;    
    if (m == k)
        return array[i];
    else if(m > k)  
        //上条语句相当于if( (i-left+1) >k)，即if( (i-left) > k-1 )，于此就与2.2节里的代码实现一、二相对应起来了。
        return q_select(array, left, i - 1, k);  
    else  
        return q_select(array, i + 1, right, k - m);
}

int main()
{
    //srand(unsigned(time(NULL)));
    //for (int j = 0; j < num_array; j++)
    //array[j] = rand();
    
    int array[num_array]={0,45,78,55,47,4,1,2,7,8,96,36,45};
    // 寻找第k最小数
    int k = 4;
    int i = q_select(array, 0, num_array - 1, k);
    cout << i << endl;
    
    return 0;
}