「POI2007」四进制天平 Quaternary Balance 题解
(n) 可以到 (10^{1000}) ,所以考虑数位 (dp)
当然这只是个直觉,具体怎么做呢?
砝码的质量都是 (4) 的幂,称出质量为 (m) 的物体,可以看成是一个 (4) 进制大整数的逐位确定,放左盘可理解为加法(该位为正),放右盘可理解为减法(该位为负),可以看出左右盘不可能都放。最后用的总砝码数等于各位数码的绝对值之和。
由于有负数,出现了前面放多,后面借位的可能,例子:
3 2 3 1
4 -1 0 -3
设 (S_{l,r}) 为 (n(base 4)) (n 为原数)中 ([l...r]) 一段拼接出的数。如果 (pos) 这一位多放了 (1) ,其实多的是 (4^{len-pos} - S_{pos+1,len}),那么后面为了借回来,就要用 (4^{len-pos}),为了平衡回来,后面就得变成 (4^{len-pos} - S_{pos+1,len}) 的四进制表示,再每位取相反数了。这等价于把 (pos + 1 ... len-1) 位减去 (3) ,最后一位减去 (4) 。
那么借位肯定是连续的一段。提前结束一段也有可能:
3 2 3 1
4 -2 3 1
结束一段后就恢复正常了。
我们再看看多段的情况:
1 *3 1 0 *2 2 *3 2
1 4 -2 -4 2 2 4 -2
不难发现,每段都是独立的,
那么可以设计出求最小砝码数的 (dp) :(dp1_{i,j}) 表示考虑到第 (i) 位,这位是否在“一段”中。算好数码转移就好了,(O(len)) 的。
这题求的是方案数。要求还原方案的 (dp) 题写过吧?其实求方案数也一样,设一个 (dp2_{i,j}) ,算 (dp2) 时,只要 (dp1) 从这种方式转移过来是最优的,我们就可以累加。也是 (O(len)) 的。
所以这题数据似乎还可以加强...