对于这个题，乍一看没什么思路。但我们可以得到以下结论：
每个三元环的边权和都是 (1) 或 (3) 。
这里介绍一种判二分图的方法：并查集判二分图
做法是建个新图，把每个点 (i) 拆成 (i) 与 (i + n) 两个点，对原图的每条边 ((i,j)) ，在新图中加入边 ((i, j + n)) 和 ((i + n, j))，最后对每个 (i) 判断 (i) 与 (i + n) 是否在同一个连通块中就行了（如果都不在同一个连通块中，就是二分图）。
这样做为什么是对的呢？
我们考虑原图有一个奇环，环上的一个点为 (x)，那么从新图上的 (x) 出发，经过一系列上下迭代（我们把 (1..n) 画在上面，(n+1..2n) 画在下面），最后会回到 (x + n)，那么 (x) 和 (x + n) 就连通了；而偶环则会回到 (x) ，不会出现这种情况。
你是否觉得突然插进来一大通，很莫名其妙？别着急，我们把这个算法与本题建立联系。
先说结论：模仿原算法建图，对于每一条边 ((i,j)) ，若权值为 (0) ，我们加边 ((i,j + n)) 与 ((i + n, j)) （异侧），否则加边 ((i,j)) 和 ((i + n, j + n)) （同侧），加完边后按原算法判断。若判断为“二分图”，则原图合法。
简单理解一下，对于一个三元环，把 (4) 种情况验证一下，发现如果边权和为 (1/3) 就判断为“二分图”，为 (0/2) 就不是“二分图”，与我们的需求恰好吻合。
那么深层次的理解呢？或者说这是怎么想出来的？
其实（合法的）原图有一个隐藏的性质：每个环里 (0) 边的数量都是偶数。这完全等价于我们的要求。
这是不是有点像二分图？其实只是把“边”特殊化成了“(0) 边”而已，“(1) 边”不再有影响。那么我们想对 (0) 边做一次二分图判定。(1) 边怎么处理呢？分别合并上下集合就好了，这样“(1) 边”不会改变“上下迭代”中 点的上下位置，自然消除了影响。
不过这题还要求计数，这看上去有点棘手。
都进行到这一步了，我们肯定考虑对新图进行计数，因为一个新图对应了恰好一个原图。
对原图的所有边进行加边操作。由于原图是个完全图，而新图必须保证 (i) 和 (i + n) 不连通，我们可以得到以下性质：
- 新图中恰好有两个连通块 (A), (B)。
- 对于一个点拆出来的两个点，如果一个在 (A) 中，那么另一个一定在 (B) 中。也就是说，(A) 和 (B) 都是在每个位置取了恰好一个点。
- (A), (B) 连通块内的边一定连满。
那么一个 (A) 连通块可以唯一确定一个 (B) ，进而可以唯一确定一张图。
考虑 (m = 0) ，没有确定关系的情况。我们先随便找一个 (A) 连通块，这时把 (2 ... n) 位置的点翻转一下（即把 (i) 变成 (i + n)，把 (i + n) 变成 (i)），该图依然合法。但 (1) 位置的点不能翻转，因为 (A) 和 (B) 是上下对称的，这样会导致重复计数。于是方案数为 (2^{n - 1})。
推广到(m > 0) ，有确定关系的情况。我们可以把一个连通块看成一个整体，当成一个点，再按上面的流程计算。显然，设“图的一边”有 (cnt) 个连通块（另一边是对称的），那么方案数为 (2^{cnt-1})。
终于做完了！别看我说了这么一大段，其实程序还是很好写的，大部分还是思考的过程。这题虽然 CF 上的难度评分并不高，但技术含量还挺高。