【题解】Luogu P5398 [Ynoi2018]GOSICK

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二次离线莫队

二次离线莫队的做法参考第十四分块（前体）的题解

我们需要考虑从(1,i)如何推到(1,i+1)

我们算过了a[i]的答案，考虑加入a[i]的贡献

我们需要在a[i]的所有约数上打标记，这个珂以直接暴力（因为约数是(sqrt n)级别的）

我们还要考虑倍数的问题，当a[i]>32时，直接暴力更新倍数打标记；a[i]<=32时，设计一个状态s[1……32]，每位1表示有这个约数，0表示没有这个约数，因为一共2^32个状态过多，所以每8个拆成一位，变成4个2^8=256状态，我们需要在0~255中第a[i]%8位为1的状态打标记即可

说的有可能不清楚，放一下代码

inline void update(register int x)
{
    for(register int i=0;i<tot[x];++i)
        ++bs[fac[x][i]];
    if(x<=32)
    {
        if(x<=8)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-1)&1)
                    ++s1[s];
        }
        else if(x<=16)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-9)&1)
                    ++s2[s];
        }
        else if(x<=24)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-17)&1)
                    ++s3[s];
        }
        else
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-25)&1)
                    ++s4[s];
        }
    }
    else
        for(register int i=x;i<=100000;i+=x)
            ++ys[i];
}

我们考虑a[i+1]的答案，答案就是约数标记、倍数标记和状压标记之和。状压标记要单独计算（如下），c[x]就是一个长为32位的状态，表示x是否有1~32的约数

inline int calc(register unsigned int x)
{
    x=c[x];
    return s1[x&255]+s2[x>>8&255]+s3[x>>16&255]+s4[x>>24];
}

完整代码（有些我可能说不清，珂以结合代码理解）

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define ll long long
#define getchar nc
using namespace std;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int read()
{
    register int x=0,f=1;register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(register ll x)
{
    if(!x)putchar('0');if(x<0)x=-x,putchar('-');
    static int sta[20];register int tot=0;
    while(x)sta[tot++]=x%10,x/=10;
    while(tot)putchar(sta[--tot]+48);
}
int n,m,a[N],blocksize,s1[256],s2[256],s3[256],s4[256];
struct query{
    int l,r,id,bl;
}q[N];
inline bool cmp(register query a,register query b)
{
    return a.bl!=b.bl?a.l<b.l:((a.bl&1)?a.r<b.r:a.r>b.r);
}
int fac[N][200],tot[N],ys[N],bs[N];
unsigned int c[N];
ll pres[N],sufs[N],ans[N],res[N];
struct node{
    int l,r,id,op;
};
vector<node> L[N],R[N];
inline int calc(register unsigned int x)
{
    x=c[x];
    return s1[x&255]+s2[x>>8&255]+s3[x>>16&255]+s4[x>>24];
}
inline void update(register int x)
{
    for(register int i=0;i<tot[x];++i)
        ++ys[fac[x][i]];
    if(x<=32)
    {
        if(x<=8)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-1)&1)
                    ++s1[s];
        }
        else if(x<=16)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-9)&1)
                    ++s2[s];
        }
        else if(x<=24)
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-17)&1)
                    ++s3[s];
        }
        else
        {
            for(register int s=0;s<256;++s)
                if(s>>(x-25)&1)
                    ++s4[s];
        }
    }
    else
        for(register int i=x;i<=100000;i+=x)
            ++bs[i];
}
inline void clear()
{
    memset(s1,0,sizeof(s1));
    memset(s2,0,sizeof(s2));
    memset(s3,0,sizeof(s3));
    memset(s4,0,sizeof(s4));
    memset(ys,0,sizeof(ys));
    memset(bs,0,sizeof(bs));
}
int main()
{
    for(register int i=1;i<=100000;++i)
    {
        for(register int j=i;j<=100000;j+=i)
            fac[j][tot[j]++]=i;
        if(i<=32)
            for(register int j=i;j<=100000;j+=i)
                c[j]|=1u<<i-1;	
    }
    n=read(),m=read();
    blocksize=n/(sqrt(m*2/3)+1);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
        a[i]=read();
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int l=read(),r=read();
        q[i]=(query){l,r,i,(l-1)/blocksize+1};
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp);
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        pres[i]=pres[i-1]+ys[a[i]]+bs[a[i]]+calc(a[i]);
        update(a[i]);
    }
    clear();
    for(register int i=n;i>=1;--i)
    {
        sufs[i]=sufs[i+1]+ys[a[i]]+bs[a[i]]+calc(a[i]);
        update(a[i]);
    }
    clear();
    q[0].l=1,q[0].r=0;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        int pl=q[i-1].l,pr=q[i-1].r,nl=q[i].l,nr=q[i].r;
        ans[i]=pres[nr]-pres[pr]+sufs[nl]-sufs[pl];
        if(nr>pr)
            R[pl-1].push_back((node){pr+1,nr,i,-1});
        if(nr<pr)
            R[pl-1].push_back((node){nr+1,pr,i,1});
        if(nl<pl)
            L[nr+1].push_back((node){nl,pl-1,i,-1});
        if(nl>pl)
            L[nr+1].push_back((node){pl,nl-1,i,1});
    }
    for(register int i=1;i<=n;++i)
    {
        update(a[i]);
        for(register int j=0;j<R[i].size();++j)
        {
            int l=R[i][j].l,r=R[i][j].r;
            ll tmp=0;
            for(register int k=l;k<=r;++k)
                tmp+=ys[a[k]]+bs[a[k]]+calc(a[k]);
            ans[R[i][j].id]+=tmp*R[i][j].op;
        }
    }
    clear();
    for(register int i=n;i>=1;--i)
    {
        update(a[i]);
        for(register int j=0;j<L[i].size();++j)
        {
            int l=L[i][j].l,r=L[i][j].r;
            ll tmp=0;
            for(register int k=l;k<=r;++k)
                tmp+=ys[a[k]]+bs[a[k]]+calc(a[k]);
            ans[L[i][j].id]+=tmp*L[i][j].op;
        }
    }
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        ans[i]+=ans[i-1],res[q[i].id]=ans[i]+q[i].r-q[i].l+1;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
        write(res[i]),puts("");
    return 0;
}