数学手法之线性基

定义

基：在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

同样的，线性基是一种特殊的基，它通常会在异或运算中出现，它的意义是：通过原集合S的某一个最小子集S1使得S1内元素相互异或得到的值域与原集合S相互异或得到的值域相同。

性质

1.线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。

2.线性基是满足性质1的最小的集合

3.线性基没有异或和为0的子集。

证明：

反证法：设线性基S={a1,a2...,an}

若有子集a1^a2^...^at=0，则a1=a2^a3^...^at，则舍弃a1后一定能通过剩余的元素异或出所有需要a1参与异或的值。设Y=a1^X，因为{a1,a2,...,an}是一组线性基，X一定能由a2...an中相互异或得来。

Y=a1^X=a2^a3^...^at^X，将X中在a2...at中出现的元素删去，在a2...at中未出现的元素加入，则也能异或得到Y，所以a1于线性基无用，与线性基是最小子集的定义矛盾。

所以：线性基没有异或和为0的子集。

写法（Luogu P3812 【模板】线性基）

#include<bits/stdc++.h> //万能头文件 
using namespace std;
long long n,ans,a[51],b[51],m[52]; //数据是2^50，想开的更大也星 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0); //小优化，不用在意（雾） 
    cin>>n;
    m[0]=1; //预处理 
    for(int i=1;i<=51;++i)
    	m[i]=m[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<=n;++i) //读入数据 
        cin>>a[i];
    //线性基标准模板 
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=51;j>=0;--j)
            if(m[j]&a[i])
                if(b[j]) 
					a[i]^=b[j];
                else 
				{
					b[j]=a[i];
					break;
				}
	//贪心算答案 
    for(int i=52;i>=0;--i)
        if((ans^m[i])>ans) 
			ans^=b[i];
	//输出 
    cout<<ans;
    return 0;
}