洛谷1216 数字金字塔 解题报告

洛谷1216 数字金字塔

本题地址： http://www.luogu.org/problem/show?pid=1216

题目描述

观察下面的数字金字塔。 

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。 

         7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 
在上面的样例中,从7 到 3 到 8 到 7 到 5 的路径产生了最大

输入输出格式

输入格式：

第一个行包含 R(1<= R<=1000) ,表示行的数目。 
后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。 
所有的被供应的整数是非负的且不大于100。

输出格式：

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

输入输出样例

输入样例#1：

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例#1：

30

说明

题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 1.5

题解

动态规划

对于这道题目，朴素做法是搜索尝试每一条道路，记录其分值，取最大值输出。但是无法通过100%的数据。

原因是搜索到（i，j）点时的最优值未作记录，导致以后再搜（i，j）点时做了重复操作。

为此，我们需要记录搜索到某个节点时的最优值，以备后用。我们可以采取记忆化搜索或递推的方法。

定义f[i,j]为从(i,j)位置走到最后一行的最大得分，得出状态转移方程：

f[i,j]:=max{f[i+1,j],f[i+1,j+1]}+a[i,j]

初始值：f[n,i]=a[n,i];

目标：f[1,1]（所求的最大得分）。

下面附上代码。

代码

var
r,i,j,k,x,y,z:longint;
a:array[0..1002,0..1002] of longint;
function max(a,b:longint):longint;
begin
  if a>b
   then
    exit(a)
   else
    exit(b);
end;

begin
readln(r);
for i:=1 to r do
  begin
   for j:=1 to i do
    read(a[i,j]);
   readln;
  end;
for i:=r downto 1 do
  for j:=1 to i-1 do
   a[i-1,j]:=max(a[i,j]+a[i-1,j],a[i,j+1]+a[i-1,j]);
writeln(a[1,1])
end.

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