高斯消元详解

简述

x+y+3z=6 - ①

2x+4y+3z=8 - ②

2x+3y+12z=4 - ③

想必所有人都解过上面的方程，那我们在这里模仿一下解题步骤

（1）先利用①式消去②式和③式的x项

=> ②-2①:2y-6z=-4 - ④

   ③-2①:y+6z=-8 - ⑤

（2）利用④式消去⑤式的y项

=> ⑤-1/2④:3z=6

∴ z=2

（3）将z=2带入④式

=> 2y-12=-4

∴ y=4

（4）将y=4,z=2带入①式

=> x+4+6=6

∴ x=-4

（5）得出解：x=-4,y=4,z=2

 我们为了算法容易实现，将所有式子的系数和它们右面的数写在一个矩阵A之中

然后我们考虑之前是如何解出答案的，回顾前面的例子不难发现我们无非是一个一个将未知数消去，这样我们就可以得到了解题思路

即：每一次用第i行的第i个数aii作为标准，对大于i的每一行k的大于i的第j个数均减去aki/aii*aki，这样我们就可以成功的将之后的每一个式子消去一个未知数了。

但这实际是远远不够的，因为有数据可以卡掉这种做法，比如：

我们不难发现如果我们的矩阵长这个样子，那我们就无法将第三个式子的第二项消掉，所以我们应该想一种可以不受某项为0这种情况干扰的做法。要做到这一点我们要知道对于一个方程组，交换任意方程的位置解不变，所以我们对于第i行只要找到大于等于i的行中第一个第i个位置不为0的行与之交换就行了。

具体实现请参照下面的代码。

代码（p3389）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
#define ri register int
const double eps=1e-8;
double a[1100][1100];
int n;
inline int read(){
      int x=0,f=1;char s=getchar();
      while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
      while(s>='0'&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s-'0');s=getchar();}
      return x*f;
}
int main()
{     n=read();
      for(ri i=0;i<n;i++){
          for(ri j=0;j<n;j++)
             a[i][j]=read();
          a[i][n]=read();
      }
      for(ri i=0;i<n;i++){
          int p=i;
          for(ri j=i;j<n;j++)
            if(fabs(a[j][i]-a[p][i])<=eps)
              p=j;
          for(ri j=0;j<=n;j++)swap(a[i][j],a[p][j]);
          if(fabs(a[i][i])<=eps){
            printf("No Solution
");
          return 0;
        }
        for(ri j=i+1;j<=n;j++)a[i][j]/=a[i][i];
        for(ri j=0;j<n;j++)
           if(j!=i)
             for(ri k=i+1;k<=n;k++)
               a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
      }
      for(ri i=0;i<n;i++)
        printf("%0.2lf
",a[i][n]);
      return 0;
}