【PTA】浙江大学数据结构慕课 课后编程作业 03-树1 树的同构

题目内容

给定两棵树T1和T2。如果T1可以通过若干次左右孩子互换就变成T2，则我们称两棵树是“同构”的。例如图1给出的两棵树就是同构的，因为我们把其中一棵树的结点A、B、G的左右孩子互换后，就得到另外一棵树。而图2就不是同构的。

图一

图二

现给定两棵树，请你判断它们是否是同构的。

输入格式

输入给出2棵二叉树树的信息。对于每棵树，首先在一行中给出一个非负整数N (≤10)，即该树的结点数（此时假设结点从0到N−1编号）；随后N行，第i行对应编号第i个结点，给出该结点中存储的1个英文大写字母、其左孩子结点的编号、右孩子结点的编号。如果孩子结点为空，则在相应位置上给出“-”。给出的数据间用一个空格分隔。注意：题目保证每个结点中存储的字母是不同的。

输出格式

如果两棵树是同构的，输出“Yes”，否则输出“No”。

输入样例（对应图1）：

8
A 1 2
B 3 4
C 5 -
D - -
E 6 -
G 7 -
F - -
H - -
8
G - 4
B 7 6
F - -
A 5 1
H - -
C 0 -
D - -
E 2 -

输出样例

Yes

题目分析

存储问题

首先要解决的是数据的存储问题
1.存储在什么样的数据结构中。
2.如何从给定的输入格式把数据存储进该结构中。

根据题目的条件该二叉树的结点不超过10个，数据量并不大且上限确定，很容易联想到使用结构体数组，即静态链表。

静态链表在物理结构上是一维数组，但其思想与作用与链表相同，用数组下标代替指针指向对应数据位置。这也说明了链表或者说是链式存储是一种物理结构而非逻辑结构。

因此我们可以构造一个结构体。

typedef int treenode;  
struct node{  
	char data;  
	treenode left;  
	treenode right;  
}T1[MAXSIZE],T2[MAXSIZE];  

用整形变量作为数组下标来指向对应位置来代替指针。
关于如何把数据存储进结构中，由于左右子树用'-'和数字一起来表示，所以我使用%c读取左右子树信息后存储在另外变量中并进行了判断，如果是'-'则为Null，否则为对应的数组下标。

根节点问题

由于数组中的节点数据是无序的，所以我们用一个构造一个和结构体数组等长的check数组（与每个结点一一对应）来检查数据是否为任意结点的儿子结点，如果不是则为根节点。
判断方法为每读取一个结点的左右子树，只要不为空，就在对应的check数组中标记。

是否同构问题

在二叉树相关问题中，递归总是被反复提及和使用，因此本问题也可以用递归的方法来解决。
关于一颗二叉树是否同构，我们首先从二叉树的五种基本形态入手：
二叉树的基本形态有：
a)空树；
b)只有根的树，即单结点；
c)有根且有一个左子树；
d)有根且有一个右子树；
e)有根且有一个左子树，有一个右子树。
与下图一一对应

这个知识点看似没有什么用，毕竟一看就知道是那么回事，但是如果加以理解并运用就能很简单的理清思路。

对于两棵二叉树A和B最简单最基本的形态是空树，那么如果两个二叉树都为空树那么必定同构，如果一个不空一个空的话必定不同构。

如果不为空树的话，则看第二种复杂一点的形态，即只有一个根结点的二叉树，如果这两个二叉树的根节点不一致，那么必定不同构。如果一致那么同构（一致同构可以省略因为这种情况包含在下面的情况中）

如果这两颗二叉树更加复杂，有一个子树不为空，那么这时有四种情况。
1.两棵二叉树都是左子树为空，则递归判断两棵二叉树的右子树是否为空。
2.两棵二叉树都是右子树为空，则递归判断两棵二叉树的左子树是否为空。
3.二叉树A左子树为空，二叉树B右子树为空，则递归判断二叉树A的右子树与二叉树B的左子树是否同构。
4.二叉树A右子树为空，二叉树B左子树为空，则递归判断二叉树A的左子树与二叉树B的右子树是否同构。

最复杂的情况，二叉树的左右子树都不为空，首先观察二叉树A和B的左子树元素的数据是否相同，
1.如果相同，则说明这两棵二叉树如果同构的话，必定满足二叉树A左子树与二叉树B左子树同构且二叉树A右子树与二叉树B右子树同构。
2.如果不同，则必须满足二叉树A左子树与二叉树B右子树同构且二叉树A右子树与二叉树B左子树同构才能使整棵二叉树同构。
具体代码如下：

bool isomorphism(treenode root1, treenode root2)
{
	if (root1 == Null && root2 == Null)//两棵二叉树都为空树
		return true;
    if ((root1 != Null && root2 == Null) || (root1 != Null && root2 == Null))//一棵二叉树为空，一棵不为空
		return false;
	if (T1[root1].data != T2[root2].data)//两棵二叉树根节点数据不同时
		return false;
	if (T1[root1].left == Null && T2[root2].left == Null)
		return isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].right);
	if(T1[root1].right==Null&&T2[root2].right==Null)
		return isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].left);
	if(T1[root1].left==Null&&T2[root2].right==Null)
		return isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].left);
	if (T1[root1].right == Null && T2[root2].left == Null)
		return isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].right);//共四种两棵二叉树都有一棵子树为空的情况
	if (T1[T1[root1].left].data == T2[T2[root2].left].data)
		return (isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].left) && isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].right));
	else
		return (isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].right) && isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].left));//共两种两棵二叉树的左右子树都不为空的情况。
}

完整代码

#include
#include
#define MAXSIZE 10
#define Null -1
typedef int treenode;
struct node{
	char data;
	treenode left;
	treenode right;
}T1[MAXSIZE],T2[MAXSIZE];

treenode createtree(node *tree);
bool isomorphism(treenode root1, treenode root2);

int main(void)
{
	int root1, root2;
	root1 = createtree(T1);
	root2 = createtree(T2);
	if (isomorphism(root1, root2))
		printf("Yes
");
	else
		printf("No
");
}

treenode createtree(struct node *tree)
{
	treenode root = Null;
	int check[MAXSIZE] = { 0 };
	int size;
	char tl, tr;
	scanf("%d", &size);
	if (size)
	{
		for (int i = 0; i < size; i++)
		{
			scanf("
%c %c %c", &tree[i].data, &tl, &tr);
			if (tl != '-')
			{
				tree[i].left = tl - '0';
				check[tree[i].left] = 1;
			}
			else
				tree[i].left = Null;
			if (tr != '-')
			{
				tree[i].right = tr - '0';
				check[tree[i].right] = 1;
			}
			else
				tree[i].right = Null;
		}
		for (int i = 0; i < MAXSIZE; i++)
		{
			if (check[i] == 0)
			{
				root = i;
				break;
			}
		}
	}
	return root;
}

bool isomorphism(treenode root1, treenode root2)
{
	if (root1 == Null && root2 == Null)
		return true;
    if ((root1 != Null && root2 == Null) || (root1 != Null && root2 == Null))
		return false;
	if (T1[root1].data != T2[root2].data)
		return false;
	if (T1[root1].left == Null && T2[root2].left == Null)
		return isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].right);
	if(T1[root1].right==Null&&T2[root2].right==Null)
		return isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].left);
	if(T1[root1].left==Null&&T2[root2].right==Null)
		return isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].left);
	if (T1[root1].right == Null && T2[root2].left == Null)
		return isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].right);
	if (T1[T1[root1].left].data == T2[T2[root2].left].data)
		return (isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].left) && isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].right));
	else
		return (isomorphism(T1[root1].left, T2[root2].right) && isomorphism(T1[root1].right, T2[root2].left));
}

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