左程云Java算法(1)

认识时间复杂度

• 常数时间的操作：一个操作如果和数据量没有关系，每次都是固定时间内完成的操作，叫做常数操作。
• 时间复杂度为一个算法流程中，常数操作数量的指标。常用O（读作big O）来表示。具体来说，在常数操作数量的表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分如果记为f(N)，那么时间复杂度为O(f(N))。
• 评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项时间。

例子一

• 一个简单的理解时间复杂度的例子
• 一个有序数组A，另一个无序数组B，请打印B中的所有不在A中的数，A数组长度为N，B数组长度为M。
• 算法流程1：对于数组B中的每一个数，都在A中通过遍历的方式找一下；
• 算法流程2：对于数组B中的每一个数，都在A中通过二分的方式找一下；
• 算法流程3：先把数组B排序，然后用类似外排的方式打印所有在A中出现的数；
• 三个流程，三种时间复杂度的表达...
• 如何分析好坏？

例子二

对数器的概念和使用

0，有一个你想要测的方法a，

1，实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b，

2，实现一个随机样本产生器

3，实现比对的方法

4，把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。

5，如果有一个样本使得比对出错，打印样本分析是哪个方法出错

6，当样本数量很多时比对测试依然正确，可以确定方法a已经正确。

    public static void bubbleSort(int[] arr){
        //要测试的算法
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        for (int i=0; i<arr.length-1; i++){
            for (int j=0; j<arr.length-1-i; j++){
                if (arr[j] > arr[j+1]){
                    swap(arr, j, j+1);
                }
            }
        }
    }
    
    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        //交换方法
        int temp;
        temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }

    public static void rightMathod(int[] arr){
        //系统提供的排序方法
        Arrays.sort(arr);    
    }
    
    public static int[] generateRanddomArray(int size, int value){
        //Math.random() -> double[0,1); 左闭右开
        //(int)((size+1) * Math.random()) -> [0, size]; 左闭右闭整数
        //size为数组长度
        
        //生成长度随机的数组
        int[] arr = new int[(int)((size+1) * Math.random())];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++){
            arr[i] = (int)((value + 1) * Math.random() - (int)(value * Math.random()));
        }        
        return arr;
    }
    
    public static int[] copyArray(int[] arr){
        //复制数组的值
        if (arr == null){
            return null;
        }
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++){
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }
    
    public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2){
        //比较两个数组的值是否一样
        if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)){
            return false;
        }
        if (arr1 == null && arr2 == null){
            return true;
        }
        if (arr1.length != arr2.length){
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < arr1.length; i++){
            if (arr1[i] != arr2[i]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    public static void printArray(int[] arr){
        //输出数组
        if (arr == null){
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length; i++){
            System.out.print(arr[i]+" ");
        }
        System.out.println();
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int testTime = 500000;
        int size = 10;
        int value = 100;
        boolean succeed = true;
        for (int i = 0; i < testTime; i++){
            int[] arr1 = generateRanddomArray(size, value);
            int[] arr2 = copyArray(arr1);
            int[] arr3 = copyArray(arr1);
            bubbleSort(arr1);
            rightMathod(arr2);
            if (!isEqual(arr1, arr2)){
                succeed = false;
                printArray(arr3);
                break;
            }
        }
        System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
        
        int[] arr = generateRanddomArray(size, value);
        printArray(arr);
        System.out.println("数组长度为："+arr.length);    
    }

例子三

冒泡排序细节的讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)　

    public static void bubbleSort(int[] arr){
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        for (int i=0; i<arr.length-1; i++){
            for (int j=0; j<arr.length-1-i; j++){
                if (arr[j] > arr[j+1]){
                    swap(arr, j, j+1);
                }
            }
        }
    }
    
    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp;
        temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
    
    public static void show(int[] arr){
        for (int i=0; i<arr.length; i++){
            System.out.print(arr[i]+" ");
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {6,4,2,5,8,9};
        bubbleSort(arr);
        show(arr);
    }

例子四

选择排序的细节讲解与复杂度分析

时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

    public static void selectionSort(int[] arr){
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length-1; i++){
            int minIndex = i;
            for (int j = i+1; j < arr.length; j++){
                 minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }
    }
    
    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = 0;
        temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
    
    public static void show(int[] arr){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++){
            System.out.print(arr[i]+" ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {6,4,1,2,9,3};
        selectionSort(arr);
        show(arr);
    }

例子五

　　插入排序的细节讲解与复杂度分析

　　时间复杂度O(N^2)，额外空间复杂度O(1)

public static void insertionSort(int[] arr){
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++){
            for (int j = i-1; j >= 0 && arr[j] > arr[j+1]; j--){
                swap(arr, j, j+1);
            }
        }
    }
    
    public static void swap(int[] arr, int i, int j){
        int temp = 0;
        temp = arr[i];
        arr[i] = arr[j];
        arr[j] = temp;
    }
    
    public static void show(int[] arr){
        for (int i = 0; i < arr.length; i++){
            System.out.print(arr[i]+" ");
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int arr[] = {7,3,4,1,9,2,5};
        insertionSort(arr);
        show(arr);
    }

例子六

刨析递归行为和递归行为时间复杂度的估算

master公式的使用

T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)

分析：

T(N)：样本量为 N 的情况下，时间复杂度
N：父问题的样本量
a：子问题发生的次数（父问题被拆分成了几个子问题，不需要考虑递归调用，只考虑单层的父子关系）
b：被拆成子问题，子问题的样本量（子问题所需要处理的样本量），比如 N 被拆分成两半，所以子问题样本量为 N/2
O(N^d)：剩余操作的时间复杂度，除去调用子过程之外，剩下问题所需要的代价（常规操作则为 O(1)）

1) log(b, a) > d　->　复杂度为O(N^log(b, a))

2) log(b, a) = d　->　复杂度为O(N^d * logN)

3) log(b, a) < d　->　复杂度为O(N^d)

例子七

　　归并排序的细节讲解与复杂度分析

　　时间复杂度O(N*logN)，额外空间复杂度O(N)　

    public static void mergeSort(int[] arr){
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return;
        }
        sortProcess(arr, 0, arr.length-1);
    }
    
    public static void sortProcess(int[] arr, int L, int R){
        if (L == R){
            return;
        }
        int mid = (L + R) / 2;    //中点下标
        sortProcess(arr, L, mid);    //T(n/2)
        sortProcess(arr, mid+1, R);    //T(N/2)
        merge(arr, L, mid, R);    //O(N)
        //T(N) = 2 T(N/2) + O(N)
    }
    
    public static void merge(int[] arr, int L, int mid, int R){
        int[] help = new int[R - L + 1];
        int i = 0;
        int p1 = L;    //左侧区域的第一个数
        int p2 = mid+1;    //右侧区域的第一个数
        while (p1 <= mid && p2 <= R){
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        //两个必有且只有一个越界
        while (p1 <= mid){
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= R){
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++){
            arr[L+i] = help[i];
        }
    }
    
    public static void show(int[] arr){
        for (int i=0; i<arr.length; i++){
            System.out.print(arr[i]+" ");
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {5,3,2,6,4,1};
        mergeSort(arr);
        show(arr);
    }

例子八

　　小和问题和逆序对问题

　　小和问题

　　在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组的小和。

　　例子：

　　[1,3,4,2,5]

　　1左边比1小的数，没有；

　　3左边比3小的数，1；

　　4左边比4小的数，1、3；

　　2左边比2小的数，1；

　　5左边比5小的数，1、3、4、2；

　　所以小和为 1+1+3+1+1+3+4+2=16

    public static int smallSum(int[] arr){
        if (arr == null || arr.length < 2){
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length-1);
    }
    
    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r){
        if (l == r){
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid+1, r) + merge(arr, l, mid, r);
    }
    
    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r){
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m+1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r){
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m){
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r){
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++){
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1,3,4,2,5};
        System.out.println(smallSum(arr));
    }

　　逆序对问题

　　在一个数组中，左边的如果比右边的数打，则折两个数构成一个逆序对，请打印所有逆序对。