神秘题目2

签到题

这很不签到 ({color{White}{cjz:这水题本神仙1秒切10道}})

题目描述

给定一颗 (n) 个节点的无根树，每个节点有一个权值 (a_i) ，你需要选一个起点 (S) ，从这个节点开始深度优先遍历，得到一个 dfs 序：(x_1=S,x_2,x_3...x_n) 。

你需要最小化 (sumlimits_{i=1}^n i imes a_{x_i})。

输入格式

第一行一个整数，(n) 表示节点数。

接下来 (n-1) 行，每行两个整数表示一条边。

接下来一行 (n) 个数，表示 (a_i) 。

输出格式

一行一个整数，表示答案

输入样例

5
1 2
1 3
3 4
3 5
5 4 3 2 1

输出样例

35

数据规模与约定

对于 (30\%) 的数据，(nle 1000) 。

对于 (100\%) 的数据，(1le n,a_ile2 imes10^5) 。

题解

分析

算法:显然树形dp。

用脚思考: O((n^2))过不去。

用手思考:应该是先把一棵子树搜完,再回溯,否则答案肯定不优。

设状态

设 f[x][L][R] 表示将 (x) 的子树从数字 (L) 连续标号到 (R) 花费的最小值。

这必 TLE/MLE 啊，空间都撑不住了。

设 f[x] 表示将 (x) 的子树从 (1) 开始标号花费的最小值，即 (sumlimits_{y in x的子树} a[y]*b[y]) , (b) 是一个 (1) 开头的排列

转移

状态的定义使得咱们在转移时要将 (f[x]) 加一个偏移量(说白了就是 (b) 整体加一个值)。

加入 (f[y_1]),(f[y_2]) 要合并到 (f[x]) 上面。

设 (sum[x]=sumlimits_{y in x的子树}a[y])

那么有 (f[x]=min(f[y_1]+f[y_2]+sum[y_2]*size[x_1],f[y_1]+f[y_2]+sum[y_1]*size[x_2]))。

这比的就是先遍历 (y_1) ，还是 (y_2) 更优秀。

那么问题来了？

子节点多的话 O((p!)) 必 T 啊，所以我放弃了这道题。

用头思考:可以按照 (frac{sum}{size})​ 从大到小排序，为什么自己想。

欸嘿!

这样就能 O((n)) 求出以 (root) 为根的答案了。

#include<bits/stdc++.h>
#define Graph(x)for(int i=last[x],y=edge[i].ver;i;i=edge[i].next,y=edge[i].ver)
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,k,last[200010],num=0,a[200010];
int siz_e[200010];
LL sum[200010],f[200010],ans=1e18,allsum=0;
struct EDGE
{int ver,next;}edge[400010];
struct G
{int ver,size;LL sum;};
vector<G>g[200010];
inline int read()
{
	int x=0,w=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return w?-x:x;
}
void add(int U,int V)
{edge[++num]=(EDGE){V,last[U]};last[U]=num;}
bool cmp(G n1,G n2)
{return n1.sum*n2.size>n2.sum*n1.size;}
void dfs(int x,int F)
{
	g[x].clear();
	siz_e[x]=1;
	f[x]=sum[x]=a[x];
	Graph(x){
		if(y==F)continue;
		dfs(y,x);
		siz_e[x]+=siz_e[y];
		sum[x]+=sum[y];
		f[x]+=f[y];
	}
	siz_e[0]=1;
	Graph(x){
		if(y==F)continue;
		g[x].push_back({y,siz_e[y],sum[y]});
	}
	sort(g[x].begin(),g[x].end(),cmp);
	for(int i=0,End=g[x].size();i<End;i++){
		f[x]+=g[x][i].sum*siz_e[0];
		siz_e[0]+=g[x][i].size;
	}
}
int main()
{
	freopen("signin.in","r",stdin);
	freopen("signin.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;allsum+=(a[i++]=read()));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dfs(i,0);
		ans=min(ans,f[i]);
	}
	cout<<ans<<'
';
	return 0;
}

强烈建议先写一下这份代码。

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 我是分割线 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

你刚刚是不是说了以 root 为根？

是的，所以那份代码还是会 TLE。

啊这，我又放弃了这道题。

欸，等等好像有一个叫做 ({color{Violet}换根DP}) 的圣物。

用脑思考:这个换根好像很难。 ({color{White}cjz:不，你就没脑子})

假设我们有了 (f[x]) ，思考怎么向 (f[y]) 转移。({color{White}cjz:像癌症一样转移})

原先求 (f[3]) 时我们用的是 (f[4]),(f[5])，当我们从 1 转移到 3 是只不过是多了一个 (f[1]) 。

那着就好办了，转移时我们设父亲这一坨 (f[fa]) 是 (ff) ，他的子树大小是 _(size) ，他子树的权值和是 (Sum) 。

有：

LL sUm=a[x];//前面的权值和
_sIze=1;//前面的子树大小
for(int i=0,End=g[x].size();i<End;i++){//g[x] 是按照 sum/size 降序的。
	if(g[x][i].ver!=F)//不能像 1 -> 2 ->1 ->2 ->1 这样打太极拳(云手这一式)
		dp(g[x][i].ver,
			x,
			n-siz_e[g[x][i].ver],//父亲的大小很显然，n-儿子的大小
			allsum-sum[g[x][i].ver],//父亲的权值和很显然，权值总和-儿子的权值和
			f[x]-f[g[x][i].ver]-g[x][i].sum*_sIze-g[x][i].size*(allsum-sUm-g[x][i].sum)
           //这个 ff 有点恶心，大体就是f[x]减去f[y]的贡献，但这造成了原来排在y后面的y2的标号变化
           //需要抵消这个变化，后面所有点权和=点权总和-排在y前面的点权和(包括y)
			);
	sUm+=g[x][i].sum;
	_sIze+=g[x][i].size;
}

#include<bits/stdc++.size>
#define Graph(x)for(int i=last[x],y=edge[i].ver;i;i=edge[i].next,y=edge[i].ver)
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m,k,last[200010],num=0,a[200010];
int siz_e[200010];
LL sum[200010],f[200010],ans=1e18,allsum=0;
struct EDGE
{int ver,next;}edge[400010];
struct G
{int ver,size;LL sum;};
vector<G>g[200010];
inline int read()
{
	int x=0,w=0;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return w?-x:x;
}
void add(int U,int V)
{edge[++num]=(EDGE){V,last[U]};last[U]=num;}
bool cmp(G n1,G n2)
{return n1.sum*n2.size>n2.sum*n1.size;}
void dfs(int x,int F)
{
	siz_e[x]=1;
	f[x]=sum[x]=a[x];
	Graph(x){
		if(y==F)continue;
		dfs(y,x);
		siz_e[x]+=siz_e[y];
		sum[x]+=sum[y];
		f[x]+=f[y];
	}
	siz_e[0]=1;
	Graph(x){
		if(y==F)continue;
		g[x].push_back({y,siz_e[y],sum[y]});
	}
	sort(g[x].begin(),g[x].end(),cmp);
	for(int i=0,End=g[x].size();i<End;i++){
		f[x]+=g[x][i].sum*siz_e[0];
		siz_e[0]+=g[x][i].size;
	}
}
void dp(int x,int F,int _size,LL Sum,LL ff)
{
	f[x]=a[x]+ff;
	int _sIze=1;
	Graph(x){
		if(y==F)continue;
		f[x]+=f[y];
	}
	g[x].push_back({F,_size,Sum});
	sort(g[x].begin(),g[x].end(),cmp);
	for(int i=0,End=g[x].size();i<End;i++){
		f[x]+=g[x][i].sum*_sIze;
		_sIze+=g[x][i].size;
	}
	ans=min(ans,f[x]);
	LL sUm=a[x];
	_sIze=1;
	for(int i=0,End=g[x].size();i<End;i++){
		if(g[x][i].ver!=F)
			dp(g[x][i].ver,
				x,
				n-siz_e[g[x][i].ver],
				allsum-sum[g[x][i].ver],
				f[x]-f[g[x][i].ver]-g[x][i].sum*_sIze-g[x][i].size*(allsum-sUm-g[x][i].sum)
				);
		sUm+=g[x][i].sum;
		_sIze+=g[x][i].size;
	}
}
int main()
{
	freopen("signin.in","r",stdin);
	freopen("signin.out","w",stdout);
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();
		add(x,y);add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		allsum+=a[i];
	}
	dfs(1,0);
	ans=f[1];
	dp(1,0,0,0,0);
	cout<<ans<<'
';
	return 0;
}