NOIP2019 格雷码 [提高组]

题目：格雷码

网址：https://www.luogu.com.cn/problem/P5657

通常，人们习惯将所有(n)位二进制串按照字典序排列，例如所有(2)位二进制串按字典序从小到大排列为：(00，01，10，11)。

格雷码（Gray Code）是一种特殊的(n)位二进制串排列法，它要求相邻的两个二进制串间恰好有一位不同，特别地，第一个串与最后一个串也算作相邻。

所有(2)位二进制串按格雷码排列的一个例子为：(00，01，11，10)。

(n)位格雷码不止一种，下面给出其中一种格雷码的生成算法：

1. (1)位格雷码由两个(1)位二进制串组成，顺序为：(0，1)。

2. (n+1)位格雷码的前(2^n)个二进制串，可以由依此算法生成的(n)位格雷码（总共(2^n)个(n)位二进制串）按顺序排列，再在每个串前加一个前缀(0)构成。

3. (n+1) 位格雷码的后(2^n)个二进制串，可以由依此算法生成的(n)位格雷码（总共(2^n)个(n)位二进制串）按逆序排列，再在每个串前加一个前缀(1)构成。

综上，(n+1)位格雷码，由(n)位格雷码的(2^n)个二进制串按顺序排列再加前缀(0)，和按逆序排列再加前缀(1)构成，共(2^{n+1})个二进制串。另外，对于(n)位格雷码中的(2^n)个二进制串，我们按上述算法得到的排列顺序将它们从(0∼2^n−1)编号。

按该算法，(2)位格雷码可以这样推出：

1. 已知(1)位格雷码为 (0，1)。

2. 前两个格雷码为 (00，01)。后两个格雷码为(11，10)。合并得到 (00，01，11，10)，编号依次为 (0 ~ 3)。

同理，(3) 位格雷码可以这样推出：

1. 已知(2)位格雷码为：(00，01，11，10)。

2. 前四个格雷码为：(000，001，011，010)。后四个格雷码为：(110，111，101，100)。合并得到：(000，001，011，010，110，111，101，100)，编号依次为 (0 ~ 7)。

现在给出 (n，k)，请你求出按上述算法生成的(n)位格雷码中的(k)号二进制串。

输入格式

仅一行两个整数 (n，k)，意义见题目描述。

输出格式

仅一行一个(n)位二进制串表示答案。

输入输出样例

输入

2 3

输出

10

输入 #2

3 5

输出 #2

111

输入 #3

44 1145141919810

输出 #3

00011000111111010000001001001000000001100011

说明/提示

【样例(1)解释】

(2) 位格雷码为：(00，01，11，10)，编号从(0∼3)，因此(3)号串是(10)。

【样例(2)解释】

(3)位格雷码为：(000，001，011，010，110，111，101，100)，编号从(0∼7)，因此(5)号串是(111)。

【数据范围】

对于(50%)的数据：(0≤n≤10)
对于(80%)的数据：(k≤5×10^6)
对于(95%)的数据：(k≤2^{63})
对于(100%)的数据：(1≤n≤64,0≤k<2^n)

---

如果模拟，那么只能过(50)分。

首先，确定第(k)个数的位置在哪里。若(k<2^n)，该数在序列前半部分；反之，则在右半部分。
该数的第(n)位就是如此确定下来的：若在前半部分，第(n)位数上为(0)；若为后半部分，第(n)位数上为(1)。

我们继续。

若该数位于前半部分，那么(n-1)位即可以按上述规律确定；如果不幸在后面了，(n-1)位规律是相反的。

分治！

换句话说，确定第(i+2)位数之后，该数的位置仅影响的是第(i+1)位的确定，但跟第(i)位毫无关联。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int maxn = 64 + 5;
ull n, k, p[maxn];
int main()
{
	cin >> n >> k;
	p[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) p[i] = p[i - 1] << 1ll;
	int cur = 0;
	for(int i = n; i > 0; -- i)
	{
		if(!cur)
		{
			if(k < p[i - 1]) 
			{
				putchar('0');
				cur = 0;
			}
			else 
			{
				putchar('1');
				cur = 1;
			}
		}
		else
		{
			if(k < p[i - 1]) 
			{
				putchar('1');
				cur = 0;
			}
			else 
			{
				putchar('0');
				cur = 1;
			}
		}
		k %= p[i - 1];
	}
	return 0;
}