数论倒数总结
一、原理
求解(a*x≡1(mod p))中的(x)。
方法一：扩展欧几里德定理
将方程变为：(a*x+b*y=1)即可。
方法二：欧拉定理
若((a,n)=1)，有(a^{phi(n)}≡1(mod n))。
请注意该方法的使用条件。
方法三：费马小定理
(a^p≡a(mod p))((p)为质数)
请注意该方法的使用条件。
二、基础应用
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求解(1)~(n)所有数关于(p)的数论倒数。
考虑递推：(p=k*i+r)，则有：(k*i+r≡0(mod p))，两式同时乘以(i^{-1})和(r^{-1})，得：(i^{-1}≡-k*r^{-1}(mod p))，线性递推。
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求解阶乘的所有数论倒数。
考虑使用费马小定理求解(n!^{-1})，然后有：(i!^{-1}≡(i+1)^{-1}*(i+1))。
参考资料：https://www.luogu.com.cn/blog/zjp-shadow/cheng-fa-ni-yuan