数论——扩展欧几里得算法

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说明：

1. 以下所有除法为向下取整除法，a / b 记为floor(a / b)。
2. 以下所有涉及运算的数均为整数。
3. gcd(a, b)表示a与b的最大公约数。
4. lcm(a, b)表示a与b的最小公倍数。
5. a % b 表示a / b的余数。
6. 模运算结果一定为正，如果a % p < 0，让a加上p再模p，即(a + p) % p。
7. a | b表示a整除b，也就是b % a = 0。
8. 两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数。

欧几里德算法　

简介：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

描述：

　　设q = a / b，r = a % b。

　　a，b，q，r满足a = q*b + r，可得gcd(a, b)=gcd(b, r)，即gcd(a, b)=gcd(b, a % b)。

第一种证明：

设d = gcd(a, b)，d_ = gcd(b, r)。

由题设可得：d | a，d | b。

∵ r = a - qb。

∴ d | r。

∴ d为 b 与 r 的公约数。

∴ d_ >= d。

同理可得：d >= d_。

∴ d = d_。

∴ gcd(a, b) = gcd(b, r) = gcd(b, a % b)

第二种证明：

设d = gcd(a, b)。

设 m = a / d，n = b / d。

由于d | a，d | b，所以m，n为正整数，且m，n互质。

∵ r = a - qb。

∴ r = (m - qn) * d。

∵ b = n * d。

∵ n，(m - qn)互质。（两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数，可用反证法证明）

∴ gcd(b, r) = d。

∴ gcd(a, b) = gcd(b, r) = gcd(b, a % b)

 

扩展欧几里德算法

描述：

设整数a，b满足a > b >= 0，必然存在整数对x，y，使得gcd(a, b) = a * x + b * y成立。

证明：

设q = a / b，r = a % b。

当b = 0时：

∵ 0除以任何数都等于0，即任何数都可以整除0。

∴ gcd(a, b) = a。

∴ x = 1，y = 0（y可以使任意数，这里取0）。

当b != 0时：

设gcd(a, b) = a * x₁ + b * y₁，gcd(b, r) = b * x₂ + r * y₂。

∵ gcd(b, r) = gcd(a, b)，r = a - q * b。

∴ a * x₁ + b * y₁ = b * x₂ + (a - q * b) * y₂ = a * y₂ + b * (x₂ - q * y₂)

∴ x₁ = y₂，y₁ = x₂ - q * y₂。

∴ 欲求x₁，y₁，即求x₂，y₂，不断递归即可。

 代码如下：

//ax + by = gcd(a, b) = d
// 扩展欧几里德算法
inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}

扩展欧几里德算法的主要应用：

1. 求解不定方程；

2. 求解模线性方程（线性同余方程）；

3. 求解模的逆元；

求解不定方程：

对于不定整数方程a * x + b * y = c，若 gcd(a, b) | c，则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

若 gcd(a, b) | c：

设 t = c / gcd(a, b)，d = gcd(a, b)，则c = d * t。

∵ a * x + b * y = d存在整数解x₁，y₁。

∴ a * x + b * y = c = d * t必然存在整数解t * x₁，t * y₁。

若c % gcd(a, b) != 0：

// TODO 知道怎么证明的大佬请丢个链接给我Ozn。

 

求解模线性方程：

设 d = gcd(a, b)。

同余方程 a * x ≡ c (mod b) 对于未知数 x 有解，当且仅当 d | c。且方程有解时，方程有 d 个解。

求解方程 a * x ≡ c (mod b) 相当于求解方程 a * x + b * y = c， (x, y为整数)。

对 a * x + b * y = c 两边模b可得：a * x ≡ c (mod b)。

对于方程为什么有解，上面已经讨论过了，以下讨论方程为什么有 d 个解。

设 t = c / d，s = b / d。

设 a * x + b * y = d的整数解为x_d，y_d。

设 a * x + b * y = c的一组整数解为x₀，y₀。

令 x₀ = t * x_d，y₀ = t * y_d。

则方程 a * x ≡ c (mod b) 的第 i 个解为：x_i = (x₀ + i * s) % b，(0 <= i < d)。

且方程 a * x ≡ c (mod b) 的最小整数解为：(x₀ % s + s) % s。

证明：

先证明解的最小公差 s = b / d：

∵ a * x₀ ≡ c (mod b)，a * (x₀ + s) ≡ c (mod b)。

∴ a * s ≡ c (mod b)。

∴ a | (a * s)，b | (a * s)。

∴ (a * s) 为 a，b 的公倍数。

∴ (a * s)_min = lcm(a, b) = a * b / d。

∴ s_min =  b / d。

再证明有d个解（此处的解是指小于b的解，不然解有无数个）：

∵ (a * x_i) % b = (a * (x₀ + i * s)) % b = (a * x₀ + a * i * b / d)) % b。

∵ d | a 且 d | b。

∴ (a * x_i) % b = (a * x₀ + b * i * a / d)) % b。

∴ (a * x_i) % b = (a * x₀) % b。

∵ a * x₀ ≡ c (mod b)

∴ a * x_i ≡ c (mod b)

∵ x_i+d = (x₀ + i * s + d * s) % b = (x₀ + i * s) % b = x_i。

∴ 解有 d 个。

 

求模的逆元：

对于方程 a * x + b * y = 1，也就是gcd(a, b) = 1的时候（a，b互质）。

所求解的x就是a关于b的逆元。

所求解的y就是b关于a的逆元。

证明：

a * x + b * y = 1 两边模b得：a * x ≡ 1 (mod b)。

即 x ≡ inv(a) (mod b)。

代码如下：

// 求a关于p的逆元，如果不存在，返回-1 
// a与p互质，逆元才存在 
inline LL inv_mod(LL a, LL p){
    LL d, x, y;
    ex_gcd(a, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}