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  • AtCoder ABC 042D いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

    题目链接:https://abc042.contest.atcoder.jp/tasks/arc058_b

    题目大意:

      给定一个 H * W 的矩阵,其中左下角 A * B 区域是禁区,要求在不踏入禁区的前提下,从左上角走到右下角一共有多少种走法?

    分析:

      设 D 为往下,R为往左。
    这里举个 H = 10,W = 7,A = 3,B = 4的例子:

    首先不管怎么走,路线都是要跨越蓝色边界线的,这里我们只讨论从 A 跨越到 B 的情况,其余情况同理。

    在这种情况下,总的路数就是所有从 S 走到 A 的路线总数乘上所有从 B 走到 T 的路线总数。

    从 S 走到 A 的路线总数就是组合数 C(5, 2),这是因为从 S 走到 A 需要走2个 D 和3个 R,也就是说,2个 D 和3个 L 能组合出多少不同的序列,这是非常基本的组合题,答案就是5个里选2个即 C(5, 2)。

    同理从 B 走到 T 的路线总数为 C(9, 2)。

    于是这种情况下的总路数为 C(5, 2) * C(9, 2)。

     

    找一下规律把所有情况加起来即可,注意数据规模很大,所以在求组合数时要用到逆元。

    代码如下:

      1 #pragma GCC optimize("Ofast")
      2 #include <bits/stdc++.h>
      3 using namespace std;
      4  
      5 #define INIT() std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);
      6 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
      7 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
      8 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
      9 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
     10 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
     11 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
     12 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
     13  
     14 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
     15 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
     16  
     17 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
     18  
     19 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
     20 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
     21  
     22 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
     23 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
     24 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
     25 
     26 #define MP make_pair
     27 #define PB push_back
     28 #define ft first
     29 #define sd second
     30  
     31 template<typename T1, typename T2>
     32 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     33     in >> p.first >> p.second;
     34     return in;
     35 }
     36  
     37 template<typename T>
     38 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     39     for (auto &x: v)
     40         in >> x;
     41     return in;
     42 }
     43  
     44 template<typename T1, typename T2>
     45 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     46     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
    ";
     47     return out;
     48 }
     49  
     50 typedef long long LL;
     51 typedef unsigned long long uLL;
     52 typedef pair< double, double > PDD;
     53 typedef pair< int, int > PII;
     54 typedef set< int > SI;
     55 typedef vector< int > VI;
     56 typedef map< int, int > MII;
     57 const double EPS = 1e-10;
     58 const int inf = 1e9 + 9;
     59 const LL mod = 1e9 + 7;
     60 const int maxN = 1e5 + 7;
     61 const LL ONE = 1;
     62 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
     63 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
     64 
     65 LL fac[2 * maxN];
     66 void init_fact() {
     67     fac[0] = 1;
     68     For(i, 1, 2 * maxN - 1) {
     69         fac[i] = (i * fac[i - 1]) % mod;
     70     }
     71 }
     72 
     73 //ax + by = gcd(a, b) = d
     74 // 扩展欧几里德算法
     75 inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
     76     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
     77     else{
     78         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
     79         y -= x * (a / b);
     80     }
     81 }
     82 
     83 // 求a关于p的逆元,如果不存在,返回-1 
     84 // a与p互质,逆元才存在 
     85 inline LL inv_mod(LL a, LL p){
     86     LL d, x, y;
     87     ex_gcd(a, p, x, y, d);
     88     return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
     89 }
     90 
     91 // Calculate x^y % p
     92 inline LL pow_mod(LL x, LL y, LL p){
     93     LL ans = 1;
     94     while(y){
     95         if(y & 1) ans = (ans * x) % p;
     96         x = (x * x) % p;
     97         y >>= 1;
     98     }
     99     return ans;
    100 } 
    101 
    102 inline LL comb_mod(LL m,LL n){
    103     LL ans;
    104     if(m > n) swap(m, n);
    105     
    106     ans = (fac[n] * inv_mod(fac[m], mod)) % mod;
    107     ans = (ans * inv_mod(fac[n - m], mod)) % mod;
    108     
    109     return ans;
    110 }
    111 
    112 int H, W, A, B;
    113 LL ans;
    114 
    115 int main(){
    116     INIT();
    117     init_fact();
    118     cin >> H >> W >> A >> B; 
    119     For(i, 1, H - A) {
    120         ans += (comb_mod(i - 1, i + B - 2) * comb_mod(W - B - 1, W - B + H - i - 1)) % mod;
    121         ans %= mod;
    122     }
    123     
    124     cout << ans << endl;
    125     return 0;
    126 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zaq19970105/p/10775072.html
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