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  • 京东2019春招算法工程师笔试题 还原

    题目链接:https://www.nowcoder.com/questionTerminal/49c5284278974cbda474ec13d8bd86a9

    题目大意

      略

    分析1

      为了兼容题目要求,我在 0 位置和 n + 1 位置设置了值为 1 的哨兵,如此一来,前两个条件都可以无视,只需要关注第 3 个条件即可。
      我首先想到的第一个DP是从后往前递推(详细见代码注释),不过只能过60%的案例,贴在这里给自己看看,正解在分析2。

    代码如下(失败的DP,TLE)

      1 #include <bits/stdc++.h>
      2 using namespace std;
      3  
      4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
      5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
      6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
      7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
      8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
      9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
     10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
     11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
     12  
     13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
     14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
     15  
     16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
     17  
     18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
     19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
     20  
     21 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
     22 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
     23 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
     24 
     25 #define MP make_pair
     26 #define PB push_back
     27 #define ft first
     28 #define sd second
     29  
     30 template<typename T1, typename T2>
     31 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     32     in >> p.first >> p.second;
     33     return in;
     34 }
     35  
     36 template<typename T>
     37 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     38     for (auto &x: v)
     39         in >> x;
     40     return in;
     41 }
     42  
     43 template<typename T1, typename T2>
     44 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     45     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
    ";
     46     return out;
     47 }
     48 
     49 inline int gc(){
     50     static const int BUF = 1e7;
     51     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
     52     
     53     if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
     54     return *bg++;
     55 } 
     56 
     57 inline int ri(){
     58     int x = 0, f = 1, c = gc();
     59     for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
     60     for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
     61     return x*f;
     62 }
     63  
     64 typedef long long LL;
     65 typedef unsigned long long uLL;
     66 typedef pair< double, double > PDD;
     67 typedef pair< int, int > PII;
     68 typedef pair< string, int > PSI;
     69 typedef set< int > SI;
     70 typedef vector< int > VI;
     71 typedef vector< PII > VPII;
     72 typedef map< int, int > MII;
     73 typedef pair< LL, LL > PLL;
     74 typedef vector< LL > VL;
     75 typedef vector< VL > VVL;
     76 const double EPS = 1e-10;
     77 const LL inf = 0x7fffffff;
     78 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
     79 const LL mod = 998244353;
     80 const int maxN = 1e4 + 7;
     81 const LL ONE = 1;
     82 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
     83 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
     84 
     85 int n, a[maxN]; 
     86 // dp[x][y][z]表示x位置的后一个元素为y,再后一个元素为z,这种情况下前x+2长度一共有多少种 
     87 LL dp[2][207][207];
     88 LL ans = 0;
     89 
     90 void add_mod(LL &a, LL b) {
     91     a = (a + b) % mod;
     92 }
     93 
     94 /*
     95 // x:当前处理到的位置
     96 // y:第 x + 1 位置元素的值 
     97 // z:第 x + 2 位置元素的值 
     98 unordered_map< LL, int > dp;
     99 inline LL dfs(LL x, int y, int z) {
    100     if(x == 0) return y <= max(z, a[x]);
    101     LL tmp = (x << 16) + (y << 8) + z;
    102     if(dp.find(tmp) != dp.end()) return dp[tmp];
    103     LL ret = 0;
    104     int s = 1, t = 200
    105     if(a[x]) s = t = a[x];
    106     
    107     For(i, s, t) if(y <= max(z, i)) add_mod(ret, dfs(x - 1, i, y));
    108     
    109     return dp[tmp] = ret % mod;
    110 }
    111 */
    112 
    113 
    114 
    115 int main(){
    116     INIT(); 
    117     cin >> n;
    118     For(i, 1, n) cin >> a[i];
    119     a[0] = 1;
    120     For(y, 1, 200) For(z, 1, 200) dp[0][y][z] = y <= max(z, a[0]);
    121     
    122     int now = 0;
    123     For(x, 1, n) {
    124         now = !now;
    125         ms0(dp[now]);
    126         For(y, 1, 200) {
    127             For(z, 1, 200) {
    128                 int s = 1, t = 200;
    129                 if(a[x]) s = t = a[x];
    130                 For(i, s, t) if(y <= max(z, i)) add_mod(dp[now][y][z], dp[!now][i][y]);
    131             }
    132         }
    133     }
    134     
    135     cout << dp[now][1][1] << endl;
    136     return 0;
    137 }
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    分析2

       假定 a[i] 为所求序列的最后一个元素,那么以 a[i] 为结尾的可还原序列种数为$sum_{j = a[i]}^{200} (以 a[i - 1] = j 为结尾的可还原序列种数)$,特别要注意的是再计算以 a[i] 为结尾的可还原序列种数时,a[i - 1] 和 a[i - 2] 的大小关系可以大于,可以等于,也可以小于。因此我们如果以上面的方式递推地进行DP,最后两个元素的大小关系就必须作为 dp 数组的一个维度。

      定义 dp[i][j][k(0:>/1:=/2:<)] 为以 a[i] = j 结尾,a[i] 和 a[i - 1] 的大小关系为 k 时的可还原序列种数。

      状态转移方程如下:

    1. 当 k == 0时,$dp[i][j][0] = sum_{h = j + 1}^{200} sum_{k = 0}^{1} dp[i - 1][h][k]$,这里 k 不能取 2,不然 a[i - 1] 将大于两边,为不合法序列。
    2. 当 k == 1时,$dp[i][j][1] = sum_{k = 0}^{2} dp[i - 1][j][k]$。
    3. 当 k == 2时,$dp[i][j][2] = sum_{h = 1}^{j - 1} sum_{k = 0}^{2} dp[i - 1][h][k]$。

      每次要求和非常麻烦,因此我们可以预处理前缀和。

      第一个优化,由上面的分析可以看出,如果把 a[1] 作为第一项,我们必须要先算出所有 dp[2][j][k] 才能进行DP,而 a[1],a[2],起初都是不确定的,为此我们可以设置哨兵 a[-1] = a[0] = 1,这样的话所有 dp[0][j][k] 一目了然。

      第二个优化,如果 a[n] 不为 0,那答案就是 $(dp[n][a[n]][0] + dp[n][a[n]][1])$,而如果 a[n] 为 0,那么答案就为$sum_{j = 1}^{200} (dp[n][j][0] + dp[n][j][1])$,还要分情况讨论,为此我们可以设置一个哨兵 a[n + 1] = 1,算的时候算到 n + 1,就不用讨论了。

    代码如下

      1 #include <bits/stdc++.h>
      2 using namespace std;
      3  
      4 #define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
      5 #define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
      6 #define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
      7 #define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
      8 #define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
      9 #define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
     10 #define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
     11 #define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
     12  
     13 #define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
     14 #define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
     15  
     16 #define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
     17  
     18 #define ALL(x) x.begin(),x.end()
     19 #define INS(x) inserter(x,x.begin())
     20  
     21 #define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
     22 #define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
     23 #define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))
     24 
     25 #define MP make_pair
     26 #define PB push_back
     27 #define ft first
     28 #define sd second
     29  
     30 template<typename T1, typename T2>
     31 istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
     32     in >> p.first >> p.second;
     33     return in;
     34 }
     35  
     36 template<typename T>
     37 istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
     38     for (auto &x: v)
     39         in >> x;
     40     return in;
     41 }
     42  
     43 template<typename T1, typename T2>
     44 ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
     45     out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
    ";
     46     return out;
     47 }
     48 
     49 inline int gc(){
     50     static const int BUF = 1e7;
     51     static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
     52     
     53     if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
     54     return *bg++;
     55 } 
     56 
     57 inline int ri(){
     58     int x = 0, f = 1, c = gc();
     59     for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
     60     for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
     61     return x*f;
     62 }
     63  
     64 typedef long long LL;
     65 typedef unsigned long long uLL;
     66 typedef pair< double, double > PDD;
     67 typedef pair< int, int > PII;
     68 typedef pair< string, int > PSI;
     69 typedef set< int > SI;
     70 typedef vector< int > VI;
     71 typedef vector< PII > VPII;
     72 typedef map< int, int > MII;
     73 typedef pair< LL, LL > PLL;
     74 typedef vector< LL > VL;
     75 typedef vector< VL > VVL;
     76 const double EPS = 1e-10;
     77 const LL inf = 0x7fffffff;
     78 const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
     79 const LL mod = 998244353;
     80 const int maxN = 1e4 + 7;
     81 const LL ONE = 1;
     82 const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
     83 const LL oddBits = 0x5555555555555555;
     84 
     85 int n, a[maxN]; 
     86 // dp[i][j][0/1/2] 代表以a[i]为结尾,a[i] = j时的序列种数。
     87 // 第三维代表a[i-1]和a[i]的大小关系(>, ==, <)。 
     88 LL dp[maxN][207][3];
     89 LL preSum1[207], preSum2[207];
     90 
     91 int main(){
     92     INIT(); 
     93     cin >> n;
     94     For(i, 1, n) cin >> a[i];
     95     a[0] = a[n + 1] = 1;// a[-1] = 1 // 一共3个哨兵 
     96     
     97     // 预处理 
     98     dp[0][1][1] = 1;
     99     For(i, 1, 200) preSum1[i] = preSum2[i] = 1;
    100     
    101     For(i, 1, n + 1) {
    102         int s = 1, t = 200;
    103         if(a[i]) s = t = a[i];
    104         
    105         For(j, s, t) {
    106             dp[i][j][0] = (preSum2[200] - preSum2[j]) % mod;
    107             dp[i][j][1] = (dp[i - 1][j][0] + dp[i - 1][j][1] + dp[i - 1][j][2]) % mod;
    108             dp[i][j][2] = preSum1[j - 1] % mod;
    109         }
    110         // 更新前缀和 
    111         For(j, 1, 200) {
    112             preSum1[j] = preSum1[j - 1] + dp[i][j][0] + dp[i][j][1] + dp[i][j][2];
    113             preSum2[j] = preSum2[j - 1] + dp[i][j][0] + dp[i][j][1];
    114         }
    115         
    116     } 
    117     
    118     cout << (dp[n + 1][1][0]+dp[n + 1][1][1]) % mod << endl;
    119     return 0;
    120 }
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