P3158 [CQOI2011]放棋子 [动态规划]

$放棋子$

题目描述见链接 .

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$color{red}{正解部分}$

每个棋子都可以占据一行和一列, 且同一行同一列不能出现相同的棋子, 考虑 一个一个棋子放 不如 考虑 一种一种棋子放 ,

设 $F[i, j, k]$ 表示前 $k$ 种棋子占据了 $i$ 行 $j$ 列的方案数, $g[i, j, k]$ 表示 $k$ 个棋子占据 $i$ 行 $j$ 列的 方案数,

则 $F[i, j, k] = sumlimits_{l=0}^{i-1} sumlimits_{r=0}^{j-1} F[l, r, k-1] egin{pmatrix} N-l \ i-l end{pmatrix} egin{pmatrix} M-r \ j-r end{pmatrix} g[i-l, j-r, k] (i-l)(j-r) le a[k]$

$g[i, j, k]$ 使用 容斥 递推, 使用 总方案数 减去 填不满的方案数 即为 合法方案数 .

$g[i, j, k] = egin{pmatrix} i imes j \ k end{pmatrix} - sumlimits_{l=1}^i sumlimits_{r=1}^j g[l, r,k] egin{pmatrix} i \ l end{pmatrix} egin{pmatrix} j \r end{pmatrix}$

注意 $g[i, j, k]$ 转移时要避免从自身转移过来, 即 $l$ $r$ 不能同时等于 $i$ $j$ .

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$color{red}{实现部分}$

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register

const int maxn = 35;
const int mod = 1e9 + 9;

int N;
int M;
int K;
int Mx;
int a[maxn];
int F[maxn][maxn][maxn];
int g[maxn][maxn][maxn];
int C[maxn*maxn][maxn*maxn];

int main(){
	scanf("%d%d%d", &N, &M, &K); 
        for(reg int i = 1; i <= K; i ++) scanf("%d", &a[i]);
        C[0][0] = 1;
        for(reg int i = 1; i <= N*M; i ++){
                C[i][0] = 1;
                for(reg int j = 1; j <= i; j ++) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % mod;
        }
        F[0][0][0] = 1;
        for(reg int k = 1; k <= K; k ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                        for(reg int j = 1; j <= M; j ++){
                                if(i*j < a[k]) continue ;
                                int &t = g[i][j][k]; t = C[i*j][a[k]];
                                for(reg int l = 1; l <= i; l ++)
                                        for(reg int r = 1; r <= j; r ++){
                                                if(l == i && r == j) continue ;
                                                t = (t - 1ll*g[l][r][k]*C[i][l]%mod*C[j][r]%mod + mod) % mod;
                                        }
                        }
        for(reg int k = 1; k <= K; k ++)
                for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                        for(reg int j = 1; j <= M; j ++)
                                for(reg int l = 0; l < i; l ++)
                                        for(reg int r = 0; r < j; r ++){
                                                if((i-l)*(j-r) < a[k]) continue ;
                                                int &t = F[i][j][k];
                                                t = (t + 1ll*F[l][r][k-1]*C[N-l][i-l]%mod*C[M-r][j-r]%mod*g[i-l][j-r][k]) % mod;
                                        }
        int Ans = 0;
        for(reg int i = 1; i <= N; i ++)
                for(reg int j = 1; j <= M; j ++) Ans = (Ans + F[i][j][K]) % mod;
        printf("%d
", Ans);
	return 0;
}